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BCE Maths appliquees HEC ECE 2017

Epreuve de maths appliquees - ECE 2017

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Probabilités continuesStatistiquesProbabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre linéaireRéductionIntégrales généralisées
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Banque
BCE
Année
2017
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2017ECE MathématiquesMathématiques 2017

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Description

Annale de maths appliquees BCE HEC pour la filiere ECE, session 2017.

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Conception : HEC Paris

OPTION ÉCONOMIQUE

MATHÉMATIQUES

Mercredi 26 avril 2017, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

EXERCICE

Pour tout , on note l'ensemble des matrices carrées à lignes et colonnes à ccefficients réels et l'ensemble des matrices de dont tous les cœfficients sont égaux à 0 ou à 1 .
  1. Exemple 1. Soit la matrice de définie par : .
    a) Calculer la matrice ,
    b) Quelles sont les valeurs propres de ?
    c) La matrice est-elle diagonalisable?
  2. Exemple 2. Soit la matrice de définie par : .
On considère les instructions et la sortie ( ) Scilab suivantes :
→
i. .
.
0. .
a) Déduire les valeurs propres de de la séquence Scilab précédente.
b) Déterminer une base de chacun des sous-espaces propres de .
3.a) Combien existe-t-il de matrices appartenant à ?
b) Combien existe-t-il de matrices de dont chaque ligne et chaque colonne comporte exactement un cœfficient égal à 1 ?
4. Dans cette question, est un entier supérieur ou égal à 2 .
Soit un espace vectoriel de dimension et un endomorphisme de . On note :
  • id l'endomorphisme identité de ;
  • le noyau de l'endomorphisme ( et le noyau de l'endomorphisme ( );
  • la dimension de et la dimension de .
On suppose que .
a) Justifier que l'image de ( ) est incluse dans .
b) En déduire l'inégalité : .
On suppose désormais que . Soit une base de et une base de .
c) Justifier que est une base de .
d) Calculer et .
e) Trouver une base de dans laquelle la matrice de appartient à .

PROBLÈME

Les tables de mortalité sont utilisées en démographie et en actuariat pour prévoir l'espérance de vie des individus d'une population. On s'intéresse dans ce problème à un modèle qui permet d'ajuster la durée de vie à des statistiques portant sur les décès observés au sein d'une génération.
Dans tout le problème, on note:
  • et deux réels strictement positifs ;
  • un espace probabilisé sur lequel sont définies toutes les variables aléatoires du problème;
  • la fonction définie sur par : .

Partie 1. Loi exponentielle linéaire

1,a) Montrer que la fonction réalise une bijection de sur l'intervalle ] 0,1].
b) Pour tout réel , résoudre l'équation d'inconnue .
c) On note la bijection réciproque de . Quelle est, pour tout , l'expression de ?
2.a) Justifier la convergence de l'intégrale .
b) Soit la fonction définie sur par: .
Montrer que est une densité d'une variable aléatoire suivant une loi normale dont on précisera les paramètres (espérance et variance).
c) Soit la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Déduire de la question 2.b), l'égalité :
  1. Pour tout et pour tout , on pose : .
    a) Justifier que la fonction est une densité de probabilité.
On dit qu'une variable aléatoire suit la loi exponentielle linéaire de paramètres a et b, notée , si elle admet pour densité.
b) Soit une variable aléatoire suivant la loi . À l'aide d'une intégration par parties, justifier que admet une espérance telle que : .
4. Soit une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre 1 . On pose : .
a) Justifier que pour tout réel , on a : .
b) En déduire que suit la loi .
c) On note une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [ 0,1 [. Déterminer la loi de la variable aléatoire .
5. La fonction Scilab suivante génère des simulations de la loi exponentielle linéaire.
(1) function
(2)
(3)
(4)
(5) endfunction
a) Quelle est la signification de la ligne de code (2) ?
b) Compléter la ligne de code (3) pour que la fonction grandlinexp génère les simulations désirées.
6. De quel nombre réel peut-on penser que les six valeurs générées par la boucle Scilab suivante fourniront des valeurs approchées de plus en plus précises et pourquoi?
for k=1:6
    mean(grandlinexp(0,1,10^k))
end
Dans la suite du problème, on note une suite de variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi exponentielle linéaire dont les paramètres et sont inconnus.
Soit un entier supérieur ou égal à 2. On suit pendant une période de h années, une "cohorte" de n individus de même âge au début de l'étude et on modélise leurs durées de vie respectives à partir de cette date par les variables aléatoires .

Partie II. Premier décès et intervalle de confiance de a

Pour tout , on définit les variables aléatoires et par :
  1. Calculer pour tout , la probabilité . Reconnaître la loi de la variable aléatoire .
  2. Pour tout , on note la fonction de répartition de la variable aléatoire .
    a) Montrer que pour tout , on a : .
    b) Étudier la continuité de la fonction ,
    c) La variable aléatoire admet-elle une densité?
    d) Montrer que la suite de variables aléatoires converge en loi vers une variable aléatoire dont on précisera la loi.
  3. Soit [.
    a) Soit une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 1 .
Trouver deux réels et strictement positifs tels que :
b) Montrer que est un intervalle de confiance asymptotíque de , de niveau de confiance .

Partie III. Nombre de survivants et estimateur convergent de

Pour tout , soit et les variables aléatoires telles que : et . Pour tout , on pose : et .
10.a) Justifier que pour tout , on a et calculer .
b) Pour quels couples , les variables aléatoires et sont-elles indépendantes?
c) Déduire des questions précédentes l'expression de la covariance de et en fonction de et . Le signe de cette covariance etait-il prévisible?
11.a) Montrer que est un estimateur sans biais et convergent du paramètre .
b) De quel paramètre, est il un estimateur sans biais et convergent?
12. On pose: et .
Pour tout , on pose : et .
On admet que et sont des estimateurs convergents de et respectivement.
a) Soit et des réels strictement positifs.
(i) Justifier linclusion suivante :
(ii) En déduire l'inégalité suivante:
.
b) Pour tout , on pose : .
Montrer que est un estimateur convergent du paramètre .

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