Probabilités continuesStatistiquesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesAlgèbre linéaireInformatique
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
EXERCICE
Soit et deux entiers supérieurs ou égaux à 1 . Si est une matrice de , la matrice de désigne la transposée de .
On identifie les ensembles et en assimilant une matrice de à son unique cefficient.
On note la base canonique de et la base canonique de .
Si et , on admet que .
Soit une matrice colonne non nulle donnée de de composantes dans la base .
On pose : et .
a) Exprimer et en fonction de . Justifier que la matrice est diagonalisable.
b) Soit l'endomorphisme de de matrice dans la base .
Déterminer et ; donner une base de et préciser la dimension de .
c) Calculer la matrice . Déterminer les valeurs propres de ainsi que les sous-espaces propres associés.
2. On suppose que et vérifient: . Soit ( ) une famille libre de vecteurs de .
On note la matrice de dont les colonnes sont, dans cet ordre, .
Soit l'application linéaire de dans de matrice dans les bases et .
a) Justifier que le rang de est égal à . Déterminer Ker .
b) Soit une matrice colonné de .
Montrer que l'on a si et seulement si l'on a .
c) En déduire que la matrice est inversible.
PROBLÈME
On s'intéresse dans ce problème à quelques aspects mathématiques de la fonction de production d'une entreprise qui produit un certain bien à une époque donnée, à partir des deux facteurs de production travail et capital.
Dans tout le problème :
On note respectivement et les quantités de travail et de capital requises pour produire une certaine quantité de ce bien.
On suppose que et . On pose: et pour tout .
La partie III est indépendante des parties I et II.
Partie I. Fonction de production CES (Constant Elasticity of Substitution).
Dans toute cette partie, on note un réel vérifiant et un réel vérifiant avec . Soit la fonction définie sur , à valeurs dans , telle que :
Exemple. Dans cette question uniquement, on prend et .
a) Montrer que pour tout , on a : . Justifier que est de classe sur et calculer pour tout , les dérivées partielles et .
b) Soit et les fonctions définies sur par: et .
Dresser le tableau de variation de la fonction sur et étudier la convexité de sur .
c) On rappelle que . Montrer que pour tout , on a : .
d) Vérifier pour tout , les relations : et .
2.a) Montrer que pour tout et pour tout réel , on a : .
b) Justifier que est de classe sur et, pour tout , calculer et .
c) Déterminer pour tout fixé, le signe et la monotonie de la fonction .
De même, déterminer pour tout fixé, le signe et la monotonie de la fonction .
3. Soit la fonction définie sur par (taux marginal de substitution technique) et la fonction définie sur par: .
a) Pour tout , exprimer en fonction de .
b) Pour tout , on pose : . Calculer (élasticité de substitution). Conclusion.
4. Soit et les fonctions définies sur par : et .
a) Montrer que pour tout , on a : .
b) En distinguant les deux cas et , dresser le tableau de variation de sur . Préciser ainsi que la convexité de sur .
Partie II. Caractérisation des fonctions de production à élasticité de substitution constante.
Dans toute cette partie, on note une fonction définie et de classe sur , à valeurs dans , vérifiant la condition et pour tout réel , la relation : .
De plus, on suppose que pour tout fixé, la fonction est strictement positive et strictement décroissante et que pour tout fixé, la fonction est également strictement positive et strictement décroissante.
5. Soit la fonction définie sur par : .
a) Justifier que la fonction est de classe , strictement croissante et concave sur .
b) Soit la fonction définie sur par: . On suppose l'existence de la limite de lorsque tend vers 0 par valeurs supérieures et que , avec . Déterminer pour tout , le signe de et montrer que .
c) Montrer que : .
6.a) Pour tout , on pose : . Montrer que pour tout , on a : .
b) Pour tout , on pose : . Déterminer pour tout , le signe de .
7. Les fonctions et sont celles qui ont été définies dans la question 6. On suppose que la fonction est constante sur ; on note cette constante et on suppose que . On pose : .
a) Pour tout , on pose : . Calculer et en déduire que : .
b) Par une méthode analogue à celle de la question 7.a), établir la relation : .
c) En déduire l'existence d'une constante a [ telle que : .
d) Quelle conclusion peut-on tirer des résultats des questions 3.b) et )?
8. Soit . Pour tout , soit la fonction définie sur par : .
a) On pose : . Calculer la limite de lorsque tend vers 0 .
b) Pour tout couple fixé, on pose : et .
Montrer que pour tout , on a : (fonction de production de Cobb-Douglas).
Partie III. Estimation des paramètres d'une fonction de production de Cobb-Douglas.
Soît un réel vérifiant et un réel strictement positif.
On suppose que la production totale présente une composante déterministe et une composante aléatoire.
La composante déterministe est une fonction de production de type Cobb-Douglas, c'est-à-dire telle que :
La composante aléatoire est une variable aléatoire de la forme où est une variable aléatoire suivant la loî normale centrée, de variance .
La production totale est une variable aléatoire à valeurs strictement positives telle que :
On suppose que les variables aléatoires et sont définies sur un même espace probabilisé .
On pose et . On a donc .
On sélectionne entreprises qui produisent le bien considéré à l'époque donnée.
On mesure pour chaque entreprise la quantité de travail et la quantité de capital utilisées ainsi que la quantité produite . On suppose que pour tout , on a et .
Pour tout , la production totale de l'entreprise est alors une variable aléatoire telle que , où sont des variables aléatoires supposées indépendantes et de même loi que et le réel strictement positif est une réalisation de la variable aléatoire .
On pose pour tout et . Ainsi, pour chaque entreprise , on a : et le réel est une réalisation de la variable aléatoire .
On rappelle les définitions et résultats suivants :
Si est une série statistique, la moyenne et la variance empiriques, notées respectivement et , sont données par : et .
Si et sont deux séries statistiques, la covariance empirique de la série double , notée , est donnée par .
9.a) Montrer que pour tout , la variable aléatoire suit la loi normale .
b) Les variables aléatoires sont-elles indépendantes?
Pour tout , soit la densité continue sur de . Soit l'ouvert défini par et la fonction de dans définie par : .
On suppose que : .
10.a) Calculer le gradient de en tout point .
b) En déduire que admet sur un unique point critique, noté .
c) Exprimer et en fonction de et .
(a et sont les estimations de a et par la méthode dite du maximum de vraisemblance)
11.a) Soit la matrice hessienne de en . Montrer que: .
b) En déduire que admet au point un maximum local.
12. Soit ( ) un couple de réels non nuls. Calculer .
En déduire que admet en un maximum global.
13. On rappelle qu'en Scilab, les commandes variance et corr permettent de calculer respectivement la variance d'une série statistique et la covariance d'une série statistique double.
Si et sont deux séries statistiques, alors la variance de est calculable par variance et la covariance de est calculable par corr .
On a relevé pour entreprises qui produisent le bien considéré à l'époque donnée, les deux séries statistiques et reproduites dans les lignes (1) et (2) du code Scilab suivant dont la ligne (5) est incomplète :
(3) plot2d(u,t,-4) //-4 signifie que les points sont représentés par des losanges.
(4) plot2d(u,corr variance mean variance mean équation de la droite de régression de en .
(5) plot2d(u,....................................................)//équation de la droite de régression de u en t.
Le code précédent complété par la ligne (5) donne alors la figure suivante :
a) Compléter la ligne (5) du code permettant d'obtenir la figure précédente (on reportera sur sa copie, uniquement la ligne (5) complétée).
b) Interpréter le point d'intersection des deux droites de régression.
c) Estimer graphiquement les moyennes empiriques et .
d) Le coefficient de corrélation empirique de la série statistique double est-il plus proche de -1 , de 1 ou de 0 ?
e) On reprend les lignes (1) et (2) du code précédent que l'on complète par les instructions (6) à (11) qui suivent et on obtient le graphique ci-dessous :
(6) variance (u)
(7) bo-mean ( )-corr ( )/variance ( )*mean( )
(8)
(9)
(10)
(11) plot2d( ) //-1 signifie que les points sont représentés par des symboles d'addition.
Que représente ce graphique? Quelle valeur peut-on conjecturer pour la moyenne des ordonnées des 16 points obtenus sur le graphique? Déterminer mathématiquement la valeur de cette moyenne.
14. Pour tout entier , on pose : . On suppose que le paramètre est connu.
a) Calculer l'espérance et la variance de la variable aléatoire . Préciser la loi de .
b) On suppose que est un paramètre inconnu. Soît un réel donné vérifiant .
On note la fonction de répartition de la loì normale centrée réduite et le réel tel que . Déterminer un intervalle de confiance du paramètre au niveau de conflance .
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