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BCE Maths appliquees HEC ECE 2008

Epreuve de maths appliquees - ECE 2008

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementStatistiquesAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Réduction
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Banque
BCE
Année
2008
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2008ECE MathématiquesMathématiques 2008

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Description

Annale de maths appliquees BCE HEC pour la filiere ECE, session 2008.

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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

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Concepteur : H.E.C.

OPTION ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES III

Mercredi 30 avril 2008, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

EXERCICE

Étant donné un entier supérieur ou égal à 2 , on considère un nuage de points du plan, c'est-à-dire un -uplet d'éléments de . On suppose que les réels (resp. ) ne sont pas tous égaux.
On appelle moyenne arithmétique et écart-type du -uplet , les réels suivants :
On définit de même la moyenne arithmétique et l'écart-type du -uplet .
La covariance et le coefficient de corrélation linéaire du couple sont donnés par :
Soit la fonction définie sur à valeurs réelles qui, à tout couple ( ) de , associe le réel tel que :
  1. Justifier que est de classe sur .
  2. a) Écrire le système d'équations permettant de déterminer les points critiques de .
    b) Résoudre le système ( ). En déduire que admet un unique point critique ( ) que l'on exprimera en fonction de et .
    c) Montrer que ce point critique correspond à un minimum local de .
    d) Établir la formule suivante :
  3. a) Montrer que l'on a : .
    b) Que peut-on dire du nuage de points lorsque ?

PROBLÈME

Dans tout le problème, désigne un entier naturel fixé supérieur ou égal à 2 , et un réel fixé de l'intervalle ]0,1[. On pose : . Soit un entier naturel quelconque.
Dans une population de individus, on s'intéresse à la propagation d'un certain virus. Chaque jour, on distingue dans cette population trois catégories d'individus : en premier lieu, les individus sains, c'est-à-dire ceux qui ne sont pas porteurs du virus, ensuite les individus qui viennent d'être contaminés et qui sont inoffensifs pour les autres, et enfin, les individus contaminés par le virus et qui sont contagieux.
Ces trois catégories évoluent jour après jour selon le modèle suivant :
  • chaque jour , chaque individu sain peut être contaminé par n'importe lequel des individus contagieux ce jour avec la même probabilité , ces contaminations éventuelles étant indépendantes les unes des autres;
  • un individu contaminé le jour devient contagieux le jour ;
  • chaque individu contagieux le jour redevient sain le jour .
On note alors le nombre aléatoire d'individus contagieux le jour .
On remarquera que si, pour un certain entier naturel , on a , alors on a aussi .
Les variables aléatoires sont supposées définies sur un même espace probabilisé , et désigne, pour tout de , l'espérance de .

Partie I. Un cas particulier

Dans cette partie uniquement, on suppose que l'on a : et .
On considère les matrices et suivantes :
L'ensemble des matrices colonnes à quatre lignes est confondu avec l'espace vectoriel .
  1. Montrer que la matrice est inversible et calculer son inverse .
  2. a) Montrer que les réels et 9 sont des valeurs propres de .
    b) Calculer le produit matriciel .
    c) En déduire, pour tout de , l'expression de la matrice en fonction de (on pose , où désigne la matrice identité de ).
  3. Soit un entier fixé de .
    a) Déterminer la loi de probabilité conditionnelle de sachant l'événement .
    b) Déterminer la loi de probabilité conditionnelle de sachant l'événement [ ].
    c) Vérifier que la loi de probabilité conditionnelle de sachant l'événement (resp. ) est la loi binomiale de paramètres (resp. ).
    d) On note l'espérance de la loi de probabilité conditionnelle de sachant l'événement . Déterminer les valeurs respectives de et .
  4. On suppose, uniquement dans cette question, que suit la loi binomiale de paramètres ( ).
    a) Déterminer la loi de et calculer .
    b) Vérifier la formule suivante : .
  5. Pour tout entier naturel , on considère le vecteur de défini par :
a) Déterminer une relation entre , et .
b) À l'aide de la formule des probabilités totales appliquée au système complet d'événements , déterminer une matrice de indépendante de , telle que : .
c) Exprimer en fonction de . En déduire les valeurs propres de .
d) Donner l'expression des réels et en fonction de et .
6. On pose : .
a) Que signifie l'événement ?
b) Montrer que le virus finit par disparaître presque sûrement, quelle que soit la loi de la variable aléatoire initiale .

Partie II. Le cas général

On suppose que pour tout entier naturel et pour tout entier de , on a : . On suppose également que pour tout couple de , le réel défini par : , est indépendant de .
Soit la matrice de définie par : .
  1. a) Déterminer, pour tout de , les probabilités et . De même, déterminer pour tout de , la probabilité .
    b) Justifier que si l'on a , alors .
    c) Montrer que pour tout de , la loi de probabilité conditionnelle de sachant , est une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
  2. a) Montrer que 1 est valeur propre de la matrice .
    b) Soit une valeur propre de , et un vecteur propre associé à .
On pose : . Justifier que la composante n'est pas nulle, puis, en examinant la ligne du système , montrer que l'on a : .
3. On pose pour tout entier naturel .
À l'aide de la formule des probabilités totales, déterminer en fonction de une matrice de indépendante de et vérifiant, pour tout de , la relation : .
On suppose jusqu'à la fin de la partie II que la matrice est diagonalisable, et que est une base de vecteurs propres de telle que, pour tout de , le vecteur propre est associé à une valeur propre .
De plus, on suppose que : , et que pour tout de , on a : .
4. On décompose alors le vecteur sur la base .
a) Déterminer, pour tout de , la décomposition du vecteur sur la base .
b) On note, pour tout couple de la -ième composante du vecteur . Exprimer, pour tout de et pour tout de , la probabilité de l'événement en fonction des réels et .
c) Montrer que, pour tout de , on a : .
d) En déduire que le virus finit par disparaître presque sûrement, quelle que soit la loi de la variable aléatoire initiale .
Partie III. Estimations ponctuelle et par intervalle de confiance de
On suppose que le paramètre , qui exprime la probabilité qu'un individu contagieux transmette le virus à un individu sain, est inconnu, et on cherche à l'estimer. On rappelle que : .
Pour entier supérieur ou égal à 1 , on considère un -échantillon ( ) de variables aléatoires indépendantes, de même loi de Bernoulli de paramètre , définies sur un espace probabilisé ( ).
On pose : .
Dans toute la suite de cette partie, on note un réel strictement positif quelconque.
  1. a) Montrer que est un estimateur sans biais de ; déterminer son risque quadratique.
    b) À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebycheff, montrer que l'intervalle est un intervalle de confiance de au niveau de confiance 0.95 .
  2. Soit un réel positif.
    a) Établir l'égalité suivante : .
    b) Montrer que si est une variable aléatoire discrète finie à valeurs positives d'espérance , et un réel strictement positif, on a l'inégalité : .
    c) Soit la fonction définie sur par : . Déduire des questions précédentes, l'inégalité suivante: .
    d) Montrer que la fonction est de classe sur et vérifie, pour tout de , l'inégalité : .
    e) En déduire l'inégalité suivante : .
    f) Étudier les variations de la fonction définie sur par : .
En déduire l'inégalité : .
3. On pose : . Établir l'inégalité : .
4. a) Déduire des questions 2 f) et 3 , l'inégalité suivante : .
b) Sachant que , calculer pour . En déduire un nouvel intervalle de confiance de au niveau de confiance 0.95 . Comparer cet intervalle de confiance à celui obtenu à la question 1.b. Conclure.

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