La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Exercice
Dans cet exercice, désigne un entier supérieur ou égal à et deux nombres réels strictement positifs et la matrice de suivante : , c'est-à-dire : , avec
On s'intéresse aux valeurs propres de et pour cela, pour réel, on note , où désigne la matrice unité d'ordre .
Exemple. Dans cette question, on considère la matrice .
a) La matrice est-elle diagonalisable ?
b) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de l'endomorphisme de canoniquement associé à la matrice .
On revient maintenant au cas général. On dira qu'une suite vérifie la propriété lorsque l'on a, pour tout .
Montrer qu'un vecteur de vérifie si, et seulement si, en posant , les nombres sont les premiers termes d'une suite vérifiant .
On suppose dans cette question que .
a) Déterminer l'ensemble des suites vérifiant ( ).
b) Montrer que si un vecteur de vérifie , alors est le vecteur nul.
On suppose dans cette question que .
a) Déterminer l'ensemble des suites vérifiant ( ).
b) Montrer que si un vecteur de vérifie , alors est le vecteur nul.
a) En déduire que si admet des valeurs propres, elles appartiennent à l'intervalle [.
b) Un théorème classique dû à Jacques Hadamard, affirme que si le réel est une valeur propre de , alors (ce théorème n'est pas à démontrer).
Le résultat que l'on a obtenu en 5. a) est-il meilleur que le résultat du théorème d'Hadamard?
Problème
Ce problème a pour objet principal la modélisation d'un processus aléatoire ponctuel (discret) représenté par une suite de variables aléatoires de Bernoulli. Ce modèle est ensuite approché par un modèle continu, et dans la dernière partie on s'intéresse, dans un cas particulier, à l'adéquation de ce modèle continu au modèle discret initial.
Dans tout le problème, désigne un nombre réel de l'intervalle ouvert .
Partie I : Modèle discret.
On suppose donnée une suite de variables aléatoires de Bernoulli, définies sur un espace probabilisé ( ). Pour tout de , on note le paramètre de la variable aléatoire .
On suppose que appartient à l'intervalle ouvert ] 0,1 [ et que pour tout de , on a les probabilités conditionnelles suivantes :
[On rappelle que la probabilité conditionnelle peut aussi se noter .]
a) Montrer que pour tout entier de , on a : .
b) En déduire que pour tout de , on a : .
a) Montrer que la suite est convergente et déterminer sa limite.
b) On pose . Etablir, pour tout de , l'inégalité : . En déduire que la série de terme général est convergente.
Pour tout de , on définit la variable aléatoire par: et on note son espérance.
a) Justifier l'existence de la limite, notée , de la suite .
b) Écrire une fonction Pascal permettant de calculer une valeur approchée de . L'en-tête de cette fonction sera :
function approx(n : integer, p0,lambda : real) : real
a) Exprimer, pour tout de , la covariance de et en fonction de et . Les variables aléatoires et sont-elles indépendantes?
b) Montrer que .
c) Pour tout de , on note le coefficient de corrélation linéaire entre et :
Exprimer en fonction de et . Montrer que, lorsque tend vers est équivalent à .
Partie II : Simulation.
On rappelle que la fonction Pascal random simule une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle . Soit un entier naturel non nul et inférieur ou égal à 200 .
On considère la suite finie des variables aléatoires vérifiant les conditions de la partie I , modélisée par l'arbre pondéré suivant, et on note encore .
On cherche à étudier cette situation à l'aide du programme suivant :
Program Evaluation;
Var lambda, p0 : real;
Function Bernoulli(p : real) : integer;
Begin
If random <= p Then Bernoulli :=1 Else Bernoulli := 0;
End;
Function Simulation(N : Integer) : Integer;
Var C, i, x : Integer ; a, p, q : Real;
Begin
p := p0; x := Bernoulli(p) ; C := x;
For i := 1 to N Do
Begin
q := p;
If x = 0 then q := p*lambda;
x := Bernoulli(q); C := C + x; p := (1 - lambda)*p*p + lambda*p;
End;
Simulation := C;
End;
Var y,k,N : Integer; T : array[0..200] of Integer;
Begin
readln(lambda); readln(p0); readln(N); Randomize;
For k := 0 to N Do T[k] := 0;
For k := 1 to 10000 Do
Begin
y := Simulation(N) ; T[y] := T[y]+1 ;
End;
For k := 0 to N Do
Begin
Write(T[k]) ; Write( ' ') ;
End;
Readln; END.
Expliquer le résultat rendu par la fonction Bernoulli.
Expliquer le fonctionnement de la fonction Simulation et donner en particulier la signification du résultat rendu.
Le programme Evaluation permet de simuler une variable aléatoire. En se référant à la loi faible des grands nombres, quelle loi de probabilité peut-on simuler grâce à ce programme?
Partie III : Modèle continu.
Soit un réel tel que et soit un réel strictement positif. Pour tout réel de , on définit une variable aléatoire sur un espace probabilisé ( ) qui suit une loi de Bernoulli de paramètre , c'est-à-dire que : .
On suppose que la fonction est définie et dérivable sur , de dérivée , et vérifie la relation :
On note et on suppose que appartient à l'intervalle ouvert .
Soit la fonction définie sur par . Montrer que est croissante sur et en déduire que la fonction ne s'annule pas sur .
a) Soit la fonction définie sur par: . Exprimer en fonction de et et en déduire qu'il existe une constante telle que, pour tout de .
b) Montrer que pour tout de , on a : .
c) Dresser le tableau des variations de sur . Soit la courbe représentative de dans le plan rapporté à un repère orthogonal. À quelle condition, portant sur , la courbe présente-t-elle un point d'inflexion? Quelles sont alors les coordonnées de ce point?
Pour tout de , on note et pour tout de .
Pour tout de , on définit la variable aléatoire par : , d'espérance .
a) Montrer que la suite est convergente de limite . Cette limite sera notée dans la suite de cette partie. a:
b) Justifier la validité du changement de variable dans l'intégrale et en déduire que l'on
c) En déduire une expression de en fonction de et et montrer que lorsque tend vers et étant fixés, est équivalent à .
Partie IV : Retour au modèle discret.
Soit un entier naturel non nul fixé. Avec les notations des parties I et III, on suppose que et .
Montrer que la fonction définie dans la partie III est deux fois dérivable sur , et montrer que pour tout de , où désigne la dérivée seconde de .
On rappelle que pour tout de et que a été défini dans la partie I . Pour tout de , on pose .
a) Établir, pour tout de , l'inégalité suivante : .
b) Établir, pour tout de , l'égalité : .
c) En déduire, pour tout de , l'inégalité suivante : .
d) Établir, pour tout de , l'inégalité : .
Pour tout réel tel que , on pose : .
a) Vérifier que pour tout réel tel que , on a .
b) Montrer que si , alors pour tout de , on a : .
c) Montrer que pour fixé, .
d) Conclure sur la qualité de l'approximation du modèle discret par le modèle continu, lorsque se «rapproche» de 1 .
