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BCE Maths appliquees HEC ECE 2003

Epreuve de maths appliquees - ECE 2003

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Algèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries entières (et Fourier)
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Banque
BCE
Année
2003
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2003ECE MathématiquesMathématiques 2003

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Description

Annale de maths appliquees BCE HEC pour la filiere ECE, session 2003.

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7a09c5be-fe82-451b-8925-4287d5328038

ÉCOLE DES HAUTES ÉTUDES COMMERCIALES
CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION ÉCONOMIQUE

MATHEMATIQUES III

Mercredi 7 mai 2003 , de 8 h à 12 h.

Abstract

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

EXERCICE

  1. Soit et deux réels strictement positifs et la matrice carrée d'ordre 2 définie par : .
    a) Montrer que si et sont égaux, la matrice n'est pas inversible.
    b) Calculer la matrice . En déduire que, si et sont distincts, la matrice est inversible et donner la matrice .
    c) Montrer que les valeurs propres de sont et .
    d) On pose . Déterminer une matrice , carrée d'ordre 2 à coefficients réels, inversible et dont les éléments de la première ligne sont égaux à 1 , vérifiant .
    e) Calculer la matrice et, à l'aide de la question précédente, calculer la matrice pour tout entier naturel non nul .
  2. Soit un réel vérifiant et le réel . On suppose que et sont deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé ( ), indépendantes et suivant la même loi géométrique de paramètre .
    Pour tout de , on désigne par la matrice carrée d'ordre 2 suivante : et on note (respectivement ) la plus grande (respectivement la plus petite) valeur propre de et on définit ainsi deux variables aléatoires sur ( ).
    a) Montrer que la probabilité de l'événement est donnée par : et en déduire la probabilité de l'événement est inversible .
    b) Calculer la covariance des variables aléatoires et .
    c) Calculer les probabilités et .
Les variables aléatoires et sont-elles indépendantes?
d) Établir, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 : .
e) En déduire, lorsque est égal à , que la valeur la plus probable de la plus grande valeur propre des matrices possibles est 11 .

PROBLÈME

Partie A : Étude d'une fonction

  1. a) On suppose, dans cette question, qu'il existe une fonction de classe sur les intervalles et , vérifiant pour tout réel appartenant à , l'égalité :
Soit la fonction définie sur , par : .
Montrer que est de classe sur les intervalles et calculer sa dérivée.
En déduire qu'il existe deux constantes réelles et vérifiant
b) On définit une fonction sur les intervalles et par :
où et sont deux constantes réelles.
Déterminer les constantes et pour que la fonction soit prolongeable par continuité en 0 .
2. Dans toute la suite de cette partie, désigne la fonction définie sur ] [ par :
a) Donner le développement limité en 0 à l'ordre 3 de la fonction puis le développement limité en 0 à l'ordre 2 de la fonction .
b) En déduire que la fonction est continue en 0 , dérivable en 0 et préciser la valeur de .
c) Montrer que, pour tout de , on a :
En utilisant le développement limité de la question précédente, montrer que est de classe sur ] [.
3. a) Étudier le signe de la fonction définie sur par : .
En déduire les variations de la fonction
b) Donner le tableau de variation de la fonction et l'allure de la représentation graphique de en précisant les asymptotes, la tangente à l'origine et la position de la courbe par rapport à cette tangente au voisinage de l'origine.
4. Soit un réel de l'intervalle .
a) Soit la fonction définie sur .
Calculer, pour tout réel de , puis pour tout entier naturel non nul, .
b) Justifier, pour tout entier naturel , l'égalité :
c) Établir, pour tout réel de l'intervalle , la double inégalité : .
En déduire, pour tout entier naturel non nul, la double inégalité :
d) Justifier l'égalité : .

Partie B : Étude d'une variable aléatoire à densité

  1. Dans cette question est la fonction définie à la question 2. de la partie A.
    a) Soit la fonction définie sur par :
Justifier la continuité de sur ] et établir, pour tout réel de , l'égalité :
b) Soit un réel de l'ntervalle . Établir pour tout entier naturel , l'égalité :
En déduire la convergence de l'intégrale et l'égalité : .
c) Soit un réel de l'intervalle ] 0,1 [ et un entier naturel, démontrer pour tout de , l'égalité
d) Montrer que la fonction est prolongeable en une fonction continue sur .
En déduire que l'intégrale converge et qu'elle vérifie :
e) On désigne alors par le maximum sur de la fonction .
Établir, pour tout entier naturel , l'inégalité :
f) Justifier la convergence de la série de terme général , puis l'égalité : .
2. On donne : et on désigne par la fonction définie sur par :
a) Vérifier que est une densité de probabilité.
b) Soit une variable aléatoire ayant pour densité .
Vérifier, pour tout réel de ]0, 1, l'égalité .
Utiliser alors le résultat de la question 1.b pour prouver que possède une espérance et la calculer.
c) Par une méthode analogue, montrer que l'intégrale est égale à .
En déduire que la variable aléatoire admet une espérance, préciser sa valeur et calculer la variance de la variable aléatoire .

Partie C : Encadrement d'une fonction de deux variables

Dans cette partie, on désigne par l'ensemble ouvert défini par :
  1. Soit la fonction de dans .
    a) Montrer que la fonction admet un minimum sur dont on précisera la valeur, mais n'admet pas de maximum.
    b) Montrer que la fonction est majorée par sur l'ouvert .
  2. Soit la fonction : .
    a) À l'aide des résultats de la partie A , montrer que est définie sur l'ouvert et qu'elle y admet un maximum. Préciser la valeur de ce maximum.
    b) Donner un encadrement de pour tout de .

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