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BCE Maths appliquees HEC ECE 2002

Epreuve de maths appliquees - ECE 2002

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Banque
BCE
Année
2002
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2002ECE MathématiquesMathématiques 2002

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Description

Annale de maths appliquees BCE HEC pour la filiere ECE, session 2002.

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ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES

CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES III

Jeudi 16 Mai 2002, de 14 h. à 18 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

EXERCICE I

Le but de cet exercice est la résolution de l'équation matricielle , d'inconnue , dans l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels.
On rappelle que si sont les matrices définies par:
la famille ( ) est une base de , qui est donc de dimension 4.
Si et sont deux matrices de , l'ensemble des matrices de vérifiant est noté .
  1. Soit et deux matrices de et l'application qui, à toute matrice de , associe la matrice .
    a) Montrer que est un endomorphisme de et en déduire que est un sous-espace vectoriel de .
    b) Dans le cas particulier où et , construire la matrice carrée d'ordre 4 qui représente dans la base ( ).
    Montrer que cette matrice est inversible et en déduire l'ensemble .
  2. Dans cette question, et désignent deux réels distincts et différents de 1 , et on pose:
a) Soit une matrice quelconque de . Donner des conditions nécessaires et suffisantes sur pour que appartienne à .
b) En déduire une base de .
3. Soit des réels non nuls vérifiant et les matrices définies par :
a) Montrer que les valeurs propres de sont 1 et . En déduire qu'il existe une matrice inversible de , et une matrice égale à celle de la question 2. pour une valeur convenable de , telles que l'on ait : .
b) Justifier de même l'existence d'une matrice inversible de , et d'une matrice égale à celle de la question 2. pour une valeur convenable de , telles que l'on ait: .
c) Pour toute matrice de , montrer qu'elle appartient à si et seulement si la matrice appartient à . En déduire une base de .
4. Dans cette question et désignent quatre réels vérifiant , et on pose :
a) Par une méthode analogue à celle de la question 2., déterminer .
b) En déduire, par une méthode analogue à celle de la question 3., le sous-espace vectoriel dans le cas où et sont deux matrices diagonalisables n'ayant aucune valeur propre commune.

EXERCICE II

Cet exercice met en évidence le fait que l'existence d'une espérance finie, pour une variable aléatoire, n'est pas toujours intuitive.
Dans tout l'exercice, I désigne l'intervalle réel et on suppose que toutes les variables aléatoires envisagées sont définies sur le même espace probabilisé ( ).

A. Première approche

  1. Montrer que l'application définie par: est une densité de probabilité.
  2. Soit une variable aléatoire à valeurs dans admettant pour densité. Déterminer, pour tout réel , la probabilité et montrer que n'admet pas d'espérance.
  3. Soit et deux variables aléatoires à valeurs dans admettant pour densité et telles que, pour tout réel , les événements et sont indépendants. On définit alors deux variables aléatoires et par : et , c'est-à-dire que, pour tout de est le plus petit des nombres et , tandis que est le plus grand de ces nombres.
    a) Pour tout réel , exprimer l'événement à l'aide des variables aléatoires et ; en déduire la probabilité .
    b) Montrer quc la variable aléatoire admet pour densité l'application définie par :
c) De façon analogue, calculer pour tout réel la probabilité et en déduire que la variable aléatoire admet pour densité l'application définie par :
d) Montrer que n'admet pas d'espérance et que admet une espérance que l'on calculera.

B. Situation plus générale

Dans cette partie, désigne un entier supérieur ou égal à 2 et on suppose que visiteurs, numérotés de 1 à , se rendent aléatoirement dans un musée et que, pour tout entier de l'intervalle , l'heure d'arrivée du visiteur numéro est une variable aléatoire admettant pour densité l'application définie dans la partie A..
On suppose de plus que, pour tout réel , les événements sont mutuellement indépendants.
Si est un entier de l'intervalle , on note la variable aléatoire désignant l'heure d'arrivée du -ième arrivant.
La partie A. traite donc du cas , les variables aléatoires et étant respectivement égales à et .
  1. Soit un élément de fixé. Pour tout entier de , on note la variable aléatoire prenant la valeur 1 lorsque l'événement est réalisé et la valeur 0 sinon.
    a) Préciser, en la justifiant soigneusement, la loi de la variable aléatoire définie par :
b) Pour tout entier de l'intervalle , exprimer l'événement à l'aide de la variable aléatoire et en déduire l'égalité : .
2. a) Vérifier, pour tout entier de l'intervalle , l'égalité : .
b) En déduire que, pour tout entier de l'intervalle , la variable aléatoire admet pour densité l'application définie par:
c) Donner un équivalent à quand tend vers et en déduire que les variables aléatoires admettent une espérance alors que n'en adnet pas.
3. Pour tout couple ( ) d'entiers naturels, on pose : .
a) À l'aide d'une intégration par parties, établir pour tout couple ( ) d'entiers naturels, la relation :
b) Calculer, pour tout entier naturel , l'intégrale .
c) Montrer par récurrence sur que, pour tout couple d'entiers naturels , on a :
  1. Soit un entier de l'intervalle .
    a) Si a est un réel strictement supérieur à 1, transformer en effectuant le changement de variable l'intégrale .
    b) En déduire la valeur de l'espérance de la variable aléatoire en fonction de et de .

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