J-0
00m
00j
00h
00min
00s

BCE Maths appliquees HEC ECE 2000

Epreuve de maths appliquees - ECE 2000

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Probabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesInformatiqueRéduction
RetourLire
Logo concours BCE - Voir tous les sujets BCE

Voir tous les sujets

Logo concours BCE
🔗 Explorer
Banque
BCE
Année
2000
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2000ECE MathématiquesMathématiques 2000

Téléchargements disponibles

Sujet et rapport

Télécharger le sujet →Rapport du jury → indisponible

Corrigés

Télécharger corrigé →

Lecture et formats

Lire en ligne →LaTeX →Word →

Description

Annale de maths appliquees BCE HEC pour la filiere ECE, session 2000.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
e9a9ef56-52c5-4f40-96af-b832c0f68f7f

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES

CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES III

Jeudi 18 Mai 2000, de 8h. à 12h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

EXERCICE I

  1. Montrer que, pour tout nombre réel et tout nombre entier naturel , l'intégrale
est convergente.
Pour quelles valeurs de l'entier cette intégrale est-elle aussi convergente pour ?
2. On se propose d'étudier la fonction définie, pour . Montrer que la fonction est une fonction strictement positive, décroissante et que
  1. a) Montrer que, pour tout réel , tout réel et tout réel , on a
b) Montrer de même que, pour tout réel , tout réel et tout réel , on a
c) En déduire que pour tout réel et tout réel tel que , on a
d) Montrer enfin que la fonction est dérivable sur et donner une expression de sa fonction dérivée .
4. Montrer de même que est dérivable sur et que .
5. On se propose de montrer que la fonction est convexe.
a) Montrer que si et sont trois nombres réels tels que, pour tout nombre réel , on ait l'inégalité : , alors, nécessairement, .
b) En déduire que la fonction est une fonction convexe.

EXERCICE II

On dispose de deux jetons et que l'on peut placer dans deux cases et , et d'un dispositif permettant de tirer au hasard et de manière équiprobable, l'une des lettres ou . Au début de l'expérience, les deux jetons sont placés dans . On procède alors à une série de tirages indépendants de l'une des trois lettres ou .
À la suite de chaque tirage, on effectue l'opération suivante :
  • si la lettre est tirée, on change le jeton de case,
  • si la lettre est tirée, on change le jeton de case,
  • si la lettre est tirée, on ne change pas le placement des jetons.
On suppose qu'il existe un espace probabilisé dont la probabilité est notée , qui modélise cette expérience et que l'on définit deux suites de variables aléatoires sur cet espace, et , décrivant les positions respectives des jetons et , en posant :
, et pour tout entier naturel non nul, , à l'issue de la è opération, le jeton se trouve dans et s'il se trouve dans ; de même, si le jeton est dans à l'issue de la è opération et s'il se trouve dans .

I. Simulation

Écrire un programme en Turbo-Pascal permettant de simuler l'expérience, qui lira un entier entré au clavier, représentant le nombre de tirages à effectuer, et qui affichera à l'écran la liste des couples observés pour .
Ce programme utilisera la fonction RANDOM qui renvoie, pour un argument de type INTEGER, un nombre entier de l'intervalle , tiré au hasard et de manière équiprobable.
(Cette fonction doit être initialisée par la commande RANDOMIZE).

II. Étude du mouvement du jeton

  1. a) Soit un entier strictement positif. Déterminer la probabilité que, à l'issue de la è opération, le jeton n'ait jamais quitté .
    b) Quelle est la probabilité que le jeton reste indéfiniment dans ?
  2. Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 , on s'intéresse à l'événement : à l'issue de la è opération, le jeton revient pour la première fois dans . Déterminer la probabilité .
  3. Soit la matrice
a) Déterminer les valeurs propres de et donner une base de vecteurs propres.
b) En déduire l'expression de , pour tout entier strictement positif.
4. a) Calculer les probabilités et .
b) Déterminer une matrice telle que, pour tout entier naturel , on ait l'égalité matricielle :
c) Pour tout entier naturel non nul, calculer la matrice et en déduire la loi de la variable .

III. Étude du mouvement du couple de jetons ( )

On suppose que l'on définit sur le même espace probabilisé une suite de variables aléatoires , à valeurs dans , décrivant les positions des deux jetons et , en posant :
, et pour tout entier naturel non nul,
si, à l'issue de la è opération, et se trouvent tous les deux dans ,
si, à l'issue de la è opération, se trouve et dans ,
, à l'issue de la è opération, se trouve et dans ,
si, à l'issue de la è opération, les deux jetons et se trouvent dans .
  1. Calculer les probabilités pour égal à et 3 .
  2. Déterminer la matrice telle que, pour tout entier naturel , on ait l'égalité matricielle :
  1. On considère les matrices:
a) Pour tout entier naturel non nul, calculer les matrices et .
b) Êtablir, pour tout entier naturel non nul, l'égalité
où, par convention, on pose : .
c) En déduire, pour tout entier naturel non nul, l'égalité
  1. Pour tout entier naturel non nul, calculer la matrice et donner la loi de la variable . (On distinguera les cas n pair et n impair).
  2. Déterminer, pour tout entier naturel non nul, la covariance de et et calculer la limite de cette covariance quand tend vers .

IV. Étude d'un temps de séjour

On suppose que chaque tirage, avec l'opération qui le suit, dure une minute. Ainsi, à l'issue de la è opération, minutes se sont écoulées depuis le début de l'expérience.
Soit un entier naturel non nul.
On suppose que le nombre de minutes écoulées pendant lesquelles le jeton a séjourné dans , entre le début de l'expérience et l'issue de la è opération, est une variable aléatoire que l'on note .
  1. Exprimer à l'aide des variables , pour compris entre 1 et .
  2. En déduire l'espérance .
Calculer la limite de quand tend vers l'infini.

Pas de description pour le moment