HEC/ESSEC Maths ECE 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

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OPTION ÉCONOMIQUE

MATHÉMATIQUES

• les variables aléatoires considérées sont définies sur un espace probabilisé ( Ω, A, ℙ );
• T désigne l'instant aléatoire de défaut de paiement d'une organisation. C'est une variable aléatoire à densité, à valeurs strictement positives, dont une densité f_T est strictement positive sur ℝ_+^∗;
• F_T désigne la fonction de répartition de T.

Partie 1 - Intensité de défaut

1. On suppose dans cette question que f_T est continue sur ℝ^+.
   a) Montrer que pour tout t ⩾ 0, ℙ([T > t]) > 0.
   b) On pose alors pour tout h > 0 et t ∈ ℝ^+, K_(T, t)(h) = 1/hℙ_([T > t])([T ⩽ t + h]).

• On suppose dans la suite que la fonction de répartition de T sur ℝ^+est définie par la formule (1) où la fonction γ_T, appelée "intensité de défaut", est une fonction continue sur ℝ^+sauf en un nombre fini de points, à valeurs strictement positives sur ℝ_+^∗.

2. L'intégrale ∫_0^(+ ∞)γ_T(x)dx est-elle convergente? Justifier que pour tout t > 0, F_T(t) ∈ ]0, 1[.
3. On propose pour trois organisations U, V et W , les courbes d'intensité de défaut suivantes pour l'année à venir (l'unité en abscisse est l'année) :
   

   

function r=F(t,gammaTab)
    produit=...
    i=...
for k=1:(i-1)
        produit=produit*exp(-gammaTab(k))
    end
    r=1-exp(-gammaTab(i)*(...))*produit
endfunction

Partie 2 - Modélisation du prix du CDS

• L'unité de temps est l'année.
• r ∈ ]0, + ∞[ et si t_0 et t sont des réels positifs, on suppose qu'un euro investi sur un actif sans risque à l'instant t_0 donne un capital ert à l'instant t_0 + t.
• A achète le CDS à B à l'instant initial ( 0 ), au prix de s euros de prime par an, pour une obligation de l'organisation C de valeur faciale 1 euro et de maturité m années.
• On suppose que A et B investissent les sommes d'argent qu'ils s'échangent sur l'actif non risqué dés qu'ils les perçoivent.
• A paie la prime à B en N(N > 2) versements identiques aux instants kθ tels que θ = m/N et k ∈ {1, …, N}.
  Par exemple, si m = 4 années et N = 16 alors A effectue des paiements tous les 1/4 d'année donc tous les trois mois, le montant de ceux-ci représentant 1/4 de la prime annuelle.
• Si le défaut survient à un instant appartenant à ]kθ, (k + 1)θ], alors A fait un dernier paiement à B d'une valeur de (T − kθ)s euro pour la période comprise entre kθ et T.
• δ(t) est le taux déterministe de recouvrement en cas de défaut à l'instant t, c'est-à- dire que A recevra ( 1 − δ(t) ) euros en cas de défaut à l'instant t.
  On rappelle que si E est un événement, 1_E désigne la variable aléatoire de Bernoulli qui vaut 1 sur E et 0 sur le complémentaire de E.

8. Valeur à maturité du capital versé par A à B
   a) Quel est le montant de la prime versée par A à B à chaque échéance?
   b) En déduire que, pour tout i ∈ {1, …, N − 1}, si [iθ < T ⩽ (i + 1)θ] est réalisé, alors A aura versé à B un capital qui vaut à maturité :

9. En déduire que,

Partie 3 - Cotation du CDS et intensité de défaut

• le taux de recouvrement est constant et on le note encore δ, où δ ∈ [0, 1[;
• pour tout k ∈ {1, …, a} :

• l'intensité de défaut est définie sur l'intervalle [0, a[ de manière analogue à ce qui avait été fait dans la question 6 , par γ_1, …, γ_a des réels strictement positifs tels que:

• on pose A_0 = 1 et pour tout k ∈ {1, …, a},

11. Vérifier que γ_1 = (s_1)/(1 − δ).
12. a) Montrer que pour tout i ∈ {1, …, a} et pour tout t ∈ [i − 1, i[,

• On pose, pour k ∈ {1, …, a}, w_k = r + (s_k)/(1 − δ) et θ_k = 1/(w_k).
  c) En déduire que ∀k ∈ {1, …, a},

13. Montrer que si pour un k ∈ {2, …, a}, s_(k − 1) = s_k, alors γ_k = (s_k)/(1 − δ).

• On définit, pour tout k ∈ {1, …, a}, la fonction φ_k sur ]0, + ∞[ par

14. a) Montrer que pour tout t > 0, φ_k^′(t) = (A_(k − 1))/(t^2)((θ_k t^2 − t − 1)e^(− t) + 1).
    b) En étudiant les variations de t ↦ 1 − (t + 1)e^(− t) sur ]0, + ∞[, montrer que φ_k est strictement croissante sur ]0, + ∞[.
    c) Déterminer les limites de φ_k en 0 et + ∞ et dresser le tableau de variations de φ_k sur ]0, + ∞[.
15. a) En remarquant que, pour tout k ∈ {2, …, a}, θ_k ⩽ θ_(k − 1), montrer que

(on pose θ_0 = 1 )
a) Exprimer γ_k en fonction de A_(k − 1), θ_k, θ_(k − 1) et r.
b) Ecrire un script Scilab qui détermine et affiche, de proche en proche, les γ_k, solutions du système d'équations (4) si a, r, δ et (s_1, …, s_a) sont donnés par l'utilisateur.
Pour a égal à 7 ans, en disposant des cotations 0.01925, 0.0235, 0.0265, 0.0265, 0.0285, 0.03, 0.0335 pour les CDS de maturité respectives 1, 2, …, 7 ans, r = 3% et δ = 30%, on a la courbe d'intensité de défaut suivante :