La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Dans tout le problème,

désigne un entier supérieur ou égal à 2 .
On dispose de

jetons numérotés de 1 à

. On tire, au hasard et sans remise, les jetons un à un. La suite (

) des numéros tirés est aussi appelée permutation de l'ensemble

.
Étant donné deux entiers

vérifiant

, la suite (

) - se réduisant à (

) dans le cas où

est égal à

- est appelée sous-suite de

et son nombre d'éléments est appelé longueur de cette sous-suite.
On admettra que cette expérience aléatoire peut être modélisée par la donnée de l'univers

, ensemble des permutations de

, muni de la tribu de ses parties

et de la probabilité uniforme

, ce qui signifie que, pour toute permutation

, on a :

.
Si

est une variable aléatoire définie sur

, on note

son espérance et

sa variance.
Si

sont deux variables aléatoires définies sur

, on note

leur covariance.

Préliminaire

Soit

une variable aléatoire prenant ses valeurs dans

où

est un entier supérieur ou égal à 2 .
Montrer l'égalité :

Partie 1 : Première sous-suite croissante

Étant donné une permutation

, la première sous-suite croissante est définie de la façon suivante : dans le cas

, la première sous-suite croissante est (

); dans le cas contraire,

étant le plus petit entier de

vérifiant

, la première sous-suite croissante est (

Soit

la variable aléatoire définie sur

qui, à toute permutation

, associe la longueur de sa première sous-suite croissante.
Par exemple, si

, comme

, on a :

a) Quelles sont la plus petite et la plus grande des valeurs prises par ? Que vaut ?
b) Montrer que, pour tout entier de , on a : . En déduire la loi de .
Donner la valeur de sous forme d'une somme et déterminer la limite de quand tend vers l'infini.

Partie 2 : Deuxième sous-suite croissante

Étant donné une permutation

et sa première sous-suite croissante

; si celleci se termine par

(i.e. si

), on dit que la deuxième sous-suite croissante n'existe pas; dans le cas contraire, la première sous-suite croissante de

est appelée deuxième sous-suite croissante de (

).
Soit

la variable aléatoire définie sur

qui, à toute permutation

, associe 0 s'il n'existe pas de deuxième sous-suite croissante, et la longueur de la deuxième sous-suite croissante, dans le cas contraire.
Par exemple, si

, la deuxième sous-suite croissante est ( 4,9 ) et l'on a :

Quelles sont la plus petite et la plus grande des valeurs prises par ? Que vaut ?
On suppose, dans cette question seulement, que est égal à 3 .
a) Montrer que la loi du couple est donnée par le tableau suivant:


	1	2	3
0	0	0
1			0
2		0	0

b) Donner la loi de

et calculer son espérance.
c) Calculer la covariance de

et de

. Pouvait-on prévoir le signe de cette covariance?
3) On suppose à nouveau que n est un entier quelconque supérieur ou égal à 2 .
a) Dénombrer les parties de l'ensemble

distinctes de

.
b) En déduire

.
c) Montrer de même que, pour tout entier

, on a :

.
d) Donner la valeur de

sous forme d'une somme.
e) En déduire

et sa limite quand

tend vers l'infini.

Partie 3 : Nombre de sous-suites croissantes

Étant donné une permutation

, si sa deuxième sous-suite croissante existe et ne se termine pas par

, on définit la troisième sous-suite croissante à l'instar de la deuxième, etc., jusqu'à ce que l'on ait défini une sous-suite croissante se terminant par

.
Soit

la variable aléatoire définie sur (

) qui, à toute permutation

, associe le nombre de ses sous-suites croissantes.
Par exemple, si

, comme les sous-suites croissantes sont

et (1), on a :

a) Donner la loi de dans le cas où vaut 2 . Calculer son espérance et sa variance.
b) Donner la loi de dans le cas où vaut 3 . Calculer son espérance et sa variance.
On suppose désormais l'entier supérieur ou égal à 4 .
a) Calculer et .
b) Comparer les événements et . En déduire la valeur de .
c) Donner la loi de dans le cas où vaut 4 . Calculer son espérance et sa variance.
Pour tout entier de , soit l'événement égal à l'ensemble des permutations ( ) vérifiant , et soit la variable aléatoire qui, à toute permutation , associe 1 si et 0 sinon.
a) Montrer que suit la loi de Bernoulli de paramètre . Donner son espérance et sa variance.
b) Donner une expression de en fonction de . En déduire l'égalité : .
c) Montrer que l'on a: . En déduire la valeur dc .
d) Montrer que, pour tout couple d'entiers vérifiant , les événements et sont indépendants.
En déduire l'égalité : .
e) Établir enfin l'égalité : .
On suppose maintenant que est égal à 5 . On considère 1000 variables aléatoires , mutuellement indépendantes, de même loi que la variable et on note la variable aléatoire égale à .
On note la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et on donne la valeur approchée suivante : .
Calculer une valeur approchée de la probabilité .

Partie 4 : Simulation informatique

Dans le langage informatique PASCAL, la fonction random renvoie, pour un argument

de type integer vérifiant

, un nombre entier aléatoire compris entre 0 et

(cette fonction est initialisée au début du corps principal du programme par la procédure randomize).
On rappelle que, dans l'exécution d'une boucle for i

downto 2 , i prend successivement les valeurs

. Dans un programme ćcrit en PASCAL, figurent la déclaration type tableau = array [1..5] of integer; et la procédure :

procedure aleatoire(var A :tableau);
var aux,i,alea : integer;
begin
    for i :=1 to 5 do A[i] :=i ;
    for i :=5 downto 2 do begin
                alea := random(i)+1 ;
                aux :=A[alea] ;
                A[alea] :=A[i] ;
                A[i] :=aux;
            end
end;

a) On suppose que les valeurs successives de alea sont et 2 . Donner les valeurs de , A [4] et A [5] à la fin de l'exécution de la procédure.
b) Quelles valeurs successives doit prendre alea pour obtenir, à la fin de l'exécution de la procédure le tableau: ?
c) Expliquer pourquoi la procédure ci-dessus permet de simuler l'expérience aléatoire définie au début du problème.
Écrire une fonction d'en-tête function T (A :tableau) :integer; qui renvoie le nombre de sous-suites croissantes du tableau A correspondant à une permutation de .
On suppose que le programme contient les déclarations var A :tableau; var k :integer; var S :real; et que le corps principal du programme est le suivant:

begin

    randomize ;
    S :=0 ;
    for k :=1 to 1000 do begin
            aleatoire(A) ;
            S :=S+T(A) ;
        end;
    S :=S/1000 ;
    writeln(S) ;
end.

Après exécution du programme la valeur affichée de S est 2,98 . Ce résultat est-il étonnant?

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\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\title{ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P. - E.A.P. ECOLE SUPE...

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