Lundi 7 mai 2018, de 14 h. à 18 h.

On s'intéresse à l'évolution d'une population de petits organismes (typiquement des insectes) pendant une "saison" reproductrice de durée maximale où . Les insectes sont supposés vivre une unité de temps, au bout de laquelle ils meurent en pondant un certain nombre d'œufs. Au moment du dépôt d'un œuf, un processus chimique, la diapause est susceptible de se mettre en marche qui entraîne l'arrêt de maturation de l'œuf jusqu'à la saison suivante. Ainsi, à chaque date de la saison, une génération d'insectes s'éteint, en déposant des œufs. Immédiatement, une proportion de ces œufs se mettent en diapause. Les œufs qui ne sont pas entrés en diapause éclosent avant la date , donnant naissance à une nouvelle génération d'insectes, qui s'éteindra à la date en déposant des œufs, etc... Comme, à la fin de la saison, tous les organismes vivants de la population meurent, hormis les œufs qui sont en diapause, ce sont ces derniers qui seront à l'origine d'une nouvelle population qui éclora à la saison suivante. Il est donc fondamental pour la survie de la lignée que les organismes adoptent une stratégie maximisant le nombre d'œufs en diapause accumulés jusqu'à la date où la saison s'achève.
Au cours du problème, on s'intéressera plus particulièrement au cas où la durée de la saison est une variable aléatoire pouvant prendre des valeurs entières entre 1 et . Pour , l'événement signifiera donc que la saison s' arrête à la date .
Toutes les variables aléatoires intervenant dans le problème sont définies sur un espace probabilisé ( ). Pour toute variable aléatoire , on notera son espérance lorsqu'elle existe.

Dans cette question, on définit l'évolution formelle du nombre d'œufs en diapause entre les dates 0 et .
On note nombre d'œufs en diapause à la date . Les œufs pondus à la date qui entrent en diapause sont comptabilisés à la date .
nombre moyen d'œufs produits à la date
proportion des œufs produits à la date qui entrent en diapause
Par convention, la date 0 d'une saison est celle où les insectes nés des œufs en diapause de la saison précédente pondent œufs. On suppose pour simplifier :

Enfin, on suppose qu'à chaque date de la saison, un individu produit en moyenne œufs ( étant un réel strictement positif). Par simplicité, on supposera que reste constant pendant toute la saison.
1)
(a) Montrer que pour tout entier tel que .
(b) Montrer que pour tout entier tel que .
2) On suppose dans cette question que .
(a) Montrer que pour tout entier tel que .
(b) Montrer que pour tout entier tel que ,

(c) Montrer que pour tout entier tel que ,

(d) Montrer que pour tout entier tel que .
(e) On suppose que .
i) Montrer que pour tout entier tel que .
ii) Montrer que pour tout entier tel que .
iii) En déduire que si , la meilleure stratégie adaptée à la saison est que les œufs produits à la date 0 entrent en diapause immédiatement.
3) On suppose désormais jusqu'à la fin du problème.

On introduit maintenant une variable aléatoire à valeurs dans qui représente la date où s'achève la saison. On suppose que pour tout .
(a) Montrer que pour tout . On définit alors .
(b) Montrer que .
(c) Montrer que .
(d) Calculer pour si suit une loi uniforme sur .
(e)
i) Soient réels tels que . Par convention, on pose . Soient .
Montrer que définit une loi de probabilité sur .
ii) Calculer si suit la loi précédente.
iii) On suppose que et de plus que pour tout entier tel que , on a . Montrer que est croissante sur .
On suppose désormais que est croissante. Le but est maintenant de trouver une stratégie adéquate pour maximiser la quantité . On va commencer par regarder un exemple simple.
4) On suppose ici que , que est donnée par et et que .
(a)
i) Déterminer .
ii) Quelle est la loi de ?
(b) Montrer que pour et donnés, est maximum pour .
(c) On suppose . Montrer que

(d) Construire le tableau de variations sur ]0,1] de la fonction définie par :

(e) Déterminer qui maximise .

Par convention, on conviendra que si est une fonction numérique définie sur , on a

On pose

(a) Montrer que est croissante sur .
(b) Calculer .
(c)
i) Calculer . On pose désormais

ii) Montrer que que pour tout .
iii) Montrer que est croissante sur .
8) Justifier l'égalité de variables aléatoires :

On pose et pour .
9)
(a) Montrer que

(b) Montrer que .
(c) Montrer que pour .

Pour et deux réels strictement positifs, on pose .
(d) Montrer que .
(e) Montrer que pour .
(f) Conclure que

On voit donc que maximiser revient à choisir, à chaque date telle que , la valeur vérifiant la contrainte de façon à rendre maximale l'expression

On expose dans cette partie les deux premières étapes de la méthode de la programmation dynamique pour résoudre le problème.
10) Soit un événement. On note la variable aléatoire telle que

(a) Déterminer la loi de .
(b) Soient et deux événements. Montrer l'égalité de variables aléatoires .
(c) On suppose que . Si est une variable aléatoire prenant un nombre fini de valeurs, on définit la variable aléatoire notée par

où désigne l'événement contraire de .
i) Soient et deux variables aléatoires prenant un nombre fini de valeurs. Montrer que

ii) Montrer que .
iii) Montrer que .
11) On suppose dans cette question que, quand l'événement est réalisé, sont connus. Comme on l'a vu précédemment, si on pose , le meilleur choix à faire est alors de prendre pour la valeur qui maximise .
(a) Montrer que .
(b) Montrer que .
12) On suppose maintenant que, quand l'événement est réalisé, sont connus. La stratégie reste donc de choisir et de façon à maximiser .
La variable aléatoire prend les deux valeurs et avec les probabilités respectives et .
(a) Montrer que

(b) Montrer que

(c) Montrer que

(d) On suppose que est donné.
i) Montrer que le meilleur choix pour est 1 .
ii) Montrer que pour un tel choix .
(e) Montrer que .

On veut maintenant choisir la stratégie optimale à la date .
(f) Montrer qu'on doit choisir pour la valeur de telle sorte que

soit maximal.
(g) Calculer ,
(h) Construire le tableau de variation de dans le cas .
(i) Construire le tableau de variation de dans le cas .
(j) Donner la valeur de .