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BCE Maths appliquees ESSEC ECE 2017

Epreuve de maths appliquees - ECE 2017

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Probabilités continuesStatistiquesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesProbabilités finies, discrètes et dénombrementGéométrie
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Banque
BCE
Année
2017
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2017ECE MathématiquesMathématiques 2017

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Description

Annale de maths appliquees BCE ESSEC pour la filiere ECE, session 2017.

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Concours d'admission de 2017

Conception : ESSEC

OPTION ÉCONOMIQUE

MATHÉMATIQUES II

Mercredi 3 mai 2017, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Etudier l'évolution des inégalités dans la répartition des richesses, matérielles ou symboliques, dans une société est un des thèmes majeurs des sciences humaines. Considérons un exemple élémentaire. Le tableau cidessous présente le pourcentage d'accès à l'enseignement secondaire en Grande-Bretagne lors de deux périodes pour deux catégories sociales.
avant 1910 entre 1935 et 1940
Profession libérale
Ouvriers
On propose trois modes de comparaison des inégalités entre les deux classes sociales.
  1. En regardant l'augmentation des pourcentages pour les deux classes entre les deux périodes on conclut que l'inégalité a augmenté entre la classe la plus aisée (Profession libérale) et la plus défavorisée (Ouvriers).
  2. Si on regarde le taux d'accroissement des pourcentages, comme , on déduit que l'inégalité a diminué.
  3. Si on regarde le taux d'accroissement des pourcentages de ceux qui n'accèdent pas à l'enseignement secondaire, comme , on déduit que l'inégalité a augmenté puisque le nombre de ceux qui n'ont pas accès à l'enseignement supérieur a proportionnellement plus diminué que celui de ceux qui y ont accès.
    Comme on le voit chacune des façons de voir est légitime à sa manière. L'objet du problème est d'introduire des outils afin d'étudier la concentration d'une loi de probabilité pour contourner des paradoxes auxquels une analyse trop rapide peut conduire, ou du moins d'en être conscient.

I Indice de Gini

On rappelle qu'une fonction numérique définie sur l'intervalle de est convexe sur si elle vérifie la propriété suivante: .
On rappelle en outre qu'une fonction est concave si est convexe.
On désigne par l'ensemble des applications définies sur à valeurs dans , continues et convexes sur , et telles que et . Pour toute application de , on note l'application associée à , définie sur par .
On pose enfin ''appelle l'indice de Gini de l'application . 1)
(a) Donnez une interprétation géométrique de la propriété de convexité.
(b) Lorsque est une fonction de classe sur , rappeler la caractérisation de la convexité de sur à l'aide de la dérivée .
2)
(a) Justifier que est concave sur .
(b) Montrer que .
(c) Représenter dans un même repère orthonormé les fonctions et et donner une interprétation géométrique de .
3) Un premier exemple.
Soit telle que pour tout .
(a) Montrer que est un élément de .
(b) Calculer .
4) Propriétés de l'indice de Gini
(a) Pour élément de , établir que .
(b) Montrer que si et seulement si pour tout .
(c) Montrer que pour tout élément de .
(d) Pour tout entier , on définit sur [0,1] par .
i) Pour tout entier strictement positif, calculer .
ii) En déduire que pour tout réel vérifiant , il existe appartenant à telle que .
5) Minoration de l'indice de Gini
(a) Soit élément de . Montrer qu'il existe dans tel que .
(b) Montrer que pour tout de .
(c) Montrer que pour tout de .
(d) En déduire que .
L'indice de Gini donne une indication sur la concentration des richesses d'un pays si l'on suppose que la fonction rend compte de cette concentration. Par exemple, s'interprète par le fait que dans la population classée par ordre de richesse croissante, les premiers de la population possèdent de la richesse totale du pays. Plus l'indice est grand, plus la répartition des richesses est inégalitaire.

II Le cas à densité

Soit une densité de probabilité sur , nulle sur , continue et strictement positive sur . On définit une fonction sur par pour . Si représente la densité de population classée suivant son revenu croissant, représente la proportion de la population dont le revenu est inférieur à . On suppose de plus que est convergente et on note sa valeur qui représente donc la richesse moyenne de la population.
6)
(a) Montrer que .
(b) Montrer que est une bijection de sur . On notera son application réciproque.
(c) Quel est le sens de variation de sur ?
7)
(a) A l'aide du changement de variables , établir que pour tout ,
(b) En déduire que converge et donner sa valeur.
8) Soit la fonction définie sur par : pour tout et .
(a)
i) Montrer que est continue sur .
ii) Montrer que est convexe sur . On admettra qu'en fait est convexe sur .
iii) En déduire que est un élément de .
(b) Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, l'égalité
  1. Soit un réel strictement positif. On suppose dans cette question que est une densité de la loi exponentielle de paramètre .
    (a) Expliciter pour .
    (b) Expliciter pour .
    (c) Donner la valeur de .
    (d) Soit . Montrer que .
    (e) En déduire que pour tout élément de , on a .
    (f) Justifier la convergence de l'intégrale et la calculer.
    (g) En déduire la valeur de .

III Application à une population

Une population de personnes est divisée en deux classes (typiquement hommes et femmes) et en catégories (par exemple socio-professionnelles), suivant le tableau à double entrée suivant où tous les et pour dans sont des entiers naturels. On suppose en outre que pour tout dans .
Classes Catégories
I
II
Total
où on a donc posé et . On suppose en outre que .
Pour appartenant à , on adopte les notations suivantes :
On note aussi , et , et on suppose que les catégories sont numérotées de telle sorte que
  1. On pose , ensemble des catégories dans la population.
    (a) Montrer que et sont des distributions de probabilités.
    (b) Montrer que (*)
    (c) Montrer que
    (d) Montrer que pour appartenant à .
  2. Dans un premier temps, nous allons construire une application appartenant à , qui permet de mesurer les inégalités à l'intérieur de la classe I.
    On pose , et pour et . On définit alors l'application de dans telle que, pour tout entier et pour tout entier est affine sur le segment .
    (a) On suppose dans cette question .
Représenter dans un repère orthonormé lorsque et .
(b) Montrer que, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la pente de la droite passant par les points de coordonnées et est pour appartenant à .
(c) Montrer que si et , on a .
(d) En admettant que les inégalités (*) de la question 10(b) permettent d'affirmer que est convexe, justifier que appartient à .
(e) Pour , calculer .
(f) Exprimer sous la forme d'une somme en fonction de .
12) Nous allons maintenant étudier l'application correspondante pour la classe II.
On pose et pour et . De même on définit pour élément de . On considère l'application de dans telle que pour tout entier , et pour tout entier , est affine sur le segment .
(a) Montrer que la pente de la droite passant par les points de coordonnées et est pour .
(b) On considère l'application définie pour tout par .
i) On suppose dans cette question .
Représenter dans un même repère orthonormé les courbes représentatives de et lorsque et .
ii) Montrer que est convexe sur .
iii) Montrer que est affine sur chaque segment pour .
iv) Montrer que la pente de sur est pour .
On dit dans cette situation que les fonctions et sont adjointes l'une de l'autre. C'est leur comparaison que Gini a proposé de considérer pour "mesurer les inégalités" entre la population de catégorie I et celle de catégorie II.
Une égalité entre les fonctions adjointes signale notamment l'absence totale d'inégalité sociale. La dernière question précise quelque peu ce point.
13)
(a) Montrer que si alors pour tout appartenant à ,
(b) Montrer que si , alors pour tout appartenant à , on a .
(c) Déduire que si , on a pour tout appartenant à .
(d) On suppose . Montrer que si , alors pour tout appartenant à . Interpréter ce résultat.

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