Mercredi 9 mai de 8 h à 12 h

En psychologie, on s'intéresse à la façon dont un individu est amené à sélectionner une action quand un choix se présente entre différentes actions possibles. Ce choix peut être influencé par un grand nombre de facteurs impondérables, ce qui fait qu'il est légitime de le modéliser à l'aide de variables aléatoires. L'objet du problème est de présenter quelques éléments simples de la théorie des modèles de choix discret. Dans le modèle binaire le plus simple, le choix se fait en fonction de la réaction à un stimulus. Dans une première partie, on étudie la modélisation élémentaire de la réponse à un stimulus. Dans une deuxième partie, on considère une importante modélisation de choix dépendant du hasard, dit modèle de Luce, et on étudie ses propriétés. Enfin, dans une troisième partie, on regarde le cas où les différents choix possibles engendrent des réactions aléatoires et on étudie des propriétés de la réaction optimale. Les trois parties sont indépendantes.
Toutes les variables aléatoires sont définies sur un même espace probabilisé ( ). Si elles existent, on note et l'espérance et la variance d'une variable aléatoire .

Soit un réel (positif ou négatif) représentant un niveau de stimulus. On considère une variable aléatoire réelle à valeurs dans représentant la tolérance de l'individu au stimulus en question. On considère donc que l'individu réagit si et ne réagit pas si . On considère la variable aléatoire indicatrice de la réaction définie par

Soit la fonction de répartition de la variable aléatoire .

On suppose que la tolérance est obtenue comme résultante d'un "grand nombre" de facteurs indépendants de petite taille c'est-à-dire , où les sont supposées être des variables aléatoires de même loi d'espérance et de variance .
(a) Déterminer l'espérance et l'écart-type de .
(b) Montrer que pour tout réel ,

(c) Le résultat précédent justifie que pour grand on peut considérer que la variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite. Trouver dans ce cas l'expression de en fonction de et .
(d) Déterminer et interpréter le résultat.
4) Plutôt que d'utiliser la loi normale, on préfère souvent une loi plus simple dont on étudie dans cette question quelques propriétés.
(a) Soit la fonction définie sur par

Montrer que est la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle. On dit alors que cette variable aléatoire suit la loi logistique.
(b) On suppose que suit une loi logistique. Déterminer .

On considère une variable aléatoire suivant la loi logistique.
(c) Déterminer une densité de probabilité de .
(d) Soit un réel positif. Etablir une relation entre et .
(e) Montrer que admet une espérance et la déterminer.
(f) Soit une variable aléatoire de loi uniforme sur . Déterminer la loi de la variable aléatoire .

On suppose maintenant que l'individu doit choisir une action dans un ensemble fini d'actions possibles . On note où désigne le cardinal de l'ensemble . Quand le nombre d'actions possibles est très grand, la procédure de choix se passe en deux temps : l'individu commence par sélectionner une partie de à laquelle il va restreindre son choix, puis choisit une action précise à l'intérieur de .
Pour chaque élément de , on définit une probabilité sur : pour un élément de représente la probabilité pour que l'individu ayant sélectionné choisisse l'action . Pour simplifier la notation, on notera
pour . En particulier, est la probabilité pour que l'individu prenne dans l'action qu'il choisit.
Pour et distincts dans on note ; il s'agit donc de la probabilité de préférer l'action à l'action dans le cas d'un choix à faire entre et .
On suppose que pour tout appartenant à et tout dans .
On fait l'hypothèse suivante sur le modèle :
(*) Pour tout couple d'éléments de tel que est inclus dans , pour tout élément de ,

(a) Soit un réel strictement positif. On pose pour tout . Montrer que pour tout appartenant à et pour tout dans ,

(b) Montrer que si et sont deux fonctions réelles définies sur satisfaisant (1), il existe un réel strictement positif tel que . Une telle fonction 'appelle une utilité associée au système de probabilités .
7) Réciproquement, soit une fonction réelle strictement positive sur . On pose, pour tout dans et tout appartenant à ,

Montrer qu'on définit ainsi un système de probabilités vérifiant (*).
8)
(a) Soit une utilité associée au système de probabilités . Montrer que pour tout , et pour tous et dans ,

La probabilité que soit choisi augmente donc avec son utilité.
(b) Montrer qu'il existe une fonction sur telle que pour tous et distincts dans ,

(c) Soit une variable aléatoire suivant la loi logistique de fonction de répartition définie par

Soient et distincts dans . Trouver en fonction de un réel tel que .
9)
(a) Montrer que pour tout couple d'éléments de tel que est inclus dans , et pour tous et dans , on a

Le rapport des probabilités de choix respectives de et est donc indépendant de la sélection de l'ensemble d'actions contenant et .
(b) On examine ici un cas concret. On suppose que l'individu devant se rendre de son domicile à son travail ait le choix entre utiliser sa voiture (symbolisée par V) ou le bus, dont deux lignes sont possibles : le bus rouge (symbolisé par R ) ou le bus bleu (B). On a donc l'ensemble d'actions . On suppose que l'individu est indifférent au fait de choisir sa voiture ou un bus, et est également indifférent à la couleur du bus. On définit ainsi un système de probabilités comme précédemment avec et de plus . Montrer que . Ce résultat est-il satisfaisant? Interpréter.

Dans cette partie, on aborde la question du choix sous un autre aspect. A chaque action de l'ensemble d'actions est associée une variable aléatoire représentant l'utilité de l'action . L'individu est alors amené à choisir l'action qui maximise ces utilités. On suppose que les variables sont indépendantes et que la loi de est donnée par la fonction de répartition . On s'intéresse dans cette partie à la valeur de l'utilité maximale, c'est à dire à .
10)
(a) Déterminer la fonction de répartition de . Que vaut dans le cas particulier où les suivent la même loi de fonction de répartition ?
On suppose désormais que les ont même loi.
(b) Pour réel donné, étudier .
(c) Montrer que les seules lois pour lesquelles on a pour tout sont les lois de variables aléatoires constantes.
11) Pour obtenir un type de loi plus intéressant pour , on va chercher des lois admettant une densité strictement positive sur et dont la fonction de répartition vérifie que pour tout il existe tel que pour tout réel, .
On suppose qu'une telle loi existe et on cherche des conditions qu'elle vérifie.
(a) Montrer que est une fonction continue et strictement croissante telle que et définit donc une bijection de sur .
(b) Montrer que la suite est décroissante.
(c) Soit un couple d'entiers strictement positifs. On considère variables aléatoires indépendantes de même loi , et on pose pour tel que ,

Montrer que les variables sont indépendantes.
(d) Quelle est la fonction de répartition de ?
(e) En remarquant que , montrer que pour tout réel,

Déduire que pour tout couple ( ) d'entiers strictement positifs, .
(f) Montrer que pour tout entier strictement positif et tout .
(g) Soient et deux entiers strictement positifs. Montrer qu'il existe un unique tel que et que .
(h) En déduire qu'il existe un réel tel que pour tout entier strictement positif, .
(i) Montrer que la fonction satisfait aux conditions cherchées. La loi ainsi définie est dite loi de Gumbel.
12) Dans cette section, on étudie un certain nombre de propriétés de la loi de Gumbel. Soit une variable aléatoire de loi de Gumbel c'est-à-dire de fonction de répartition telle que .
(a) Déterminer une densité de probabilité de .
(b) On pose . Déterminer la loi de la variable aléatoire .
(c) Soient et deux réels strictement positifs.

Etablir une relation entre et .
(d) On considère une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle de paramètre 1. Soit une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre 1 indépendante de . On considère la variable aléatoire telle que pour tout , et tout , et si .
Montrer que pour tous réels et tels que , on a . Que vaut ?