BCE Maths appliquees ESSEC ECE 2011

BANQUE COMMUNE D'EPREUVES

OPTION ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES II

Vocabulaire et notations:

• le premier instant où la carte située sur le dessus du paquet est glissée en dernière position, c'est-à-dire le premier instant où la carte se trouve remontée de la position à la position ,
• le premier instant où la carte se trouve remontée en position ,
• et plus généralement, pour dans le premier instant où la carte atteint la position .
• On posera également et .
• Enfin, on notera .

Partie 1 - Description et premiers résultats

1. Justifier que .

Partie 2 - Estimation du nombre d'insertions pour bien mélanger les cartes

8. Espérance et variance de

11. Écart à la moyenne

PROGRAM ESSEC2011;
TYPE Paquet=ARRAY[1..32] OF INTEGER;
VAR Jeu:Paquet;
    ............ (à compléter)
PROCEDURE Init( .............)
PROCEDURE Insertion(VAR Jeu:Paquet);
VAR i,k,cartedessus:INTEGER;
BEGIN
    k:= ....... (position où on va insérer la carte du dessus)
    cartedessus:=Jeu[1];
    IF k>1 THEN FOR i :=1 TO k-1 DO Jeu[i] := ....
    Jeu[k] := ....
END;
FUNCTION T(Jeu:Paquet):INTEGER;
VAR n :INTEGER;
BEGIN
    Init(Jeu);
    n:=0;
    WHILE Jeu[1]<>32 DO
    BEGIN
        Insertion(Jeu);
        n:=n+1
    END;
    T:=n
END;
BEGIN { programme principal }
END.

Partie 3 - Distance variationnelle à la loi uniforme

Notations:

• On note l'équiprobabilité sur , c'est-à-dire l'application de dans [ 0,1 ] telle que:

• On note également la probabilité sur définie comme suit: pour chaque configuration de désigne la probabilité qu'à l'instant le tas de cartes se trouve dans la configuration .
  On a alors pour pour toute partie de .
  On peut mesurer la qualité du mélange à un instant donné en estimant l'écart entre et . Une distance entre ces probabilités est définie de la manière suivante:

14. Soient une partie de et l'événement: "à l'instant le paquet de cartes se trouve dans une configuration qui appartient à la partie ."
    (a) Expliquer, en utilisant la question 7, l'égalité suivante : . En déduire .
    (b) Établir que .
    (c) Montrer que

15. Soit une partie de et . On note l'événement contraire de .
    (a) Exprimer en fonction de et .
    (b) Déduire des questions précédentes la majoration :

16. Montrer que . Déterminer la limite .

Partie 4- Une majoration de

• pour tout entier le nombre aléatoire de jours que doit attendre le collectionneur pour que le nombre de timbres différents qu'il possède passe de à ,
• , soit la variable aléatoire correspondant au nombre de jours à attendre pour posséder la collection complète des timbres,
• en supposant les timbres en vigueur numérotés de 1 à , pour tout l'événement "le jour , le collectionneur n'a toujours pas reçu de lettre affranchie avec le timbre numéro ."
  On admet que les variables aléatoires sont indépendantes.

17. Déterminer la loi de .
18. Déterminer pour tout entier la loi de la variable .
19. En déduire que la variable suit la même loi de probabilité que la variable étudiée dans les parties précédentes.
    Ce résultat sera utilisé pour estimer la quantité .
20. Soit .
    (a) Exprimer l'événement à l'aide des événements .
    (b) Que vaut pour tout entier ?
    (c) On rappelle que pour tout entier et pour toute famille d'événements , on a l'inégalité: En déduire .
21. (a) Montrer que pour tout , .
    (b) Déduire des résultats précédents la majoration

22. On reprend les notations introduites dans la partie précédente.
    (a) Soit fixé. Montrer que pour entier supérieur ou égal à on a : .
    (b) Application numérique. On estime qu'une distance en variation à la loi uniforme de 0,2 est acceptable.
    Avec un jeu de 32 cartes, combien de battages par insertions doit-on faire pour considérer le paquet mélangé de façon acceptable?