CONCOURS D'ADMISSION DE 2010

Concepteur : ESSEC
ESSECM2_E

Lundi 10 mai de 8 h à 12 h

L'objet du problème est l'étude de la durée de fonctionnement d'un système (une machine, un organisme, un service...) démarré à la date et susceptible de tomber en panne à une date aléatoire. Après une partie préliminaire sur les propriétés de la loi exponentielle, on introduira dans la deuxième partie, les notions permettant d'étudier des propriétés de la date de première panne. Enfin, dans une troisième partie on examinera le fonctionnement d'un système satisfaisant certaines propriétés particulières.
Les trois parties sont dans une large mesure indépendantes.
Toutes les variables aléatoires intervenant dans le problème sont définies sur un espace probabilisé ( ).
Pour toute variable aléatoire , on notera son espérance lorsqu'elle existe.
On adoptera les conventions suivantes. On dira qu'une fonction continue sur et continue à droite en 0 est continue sur . En outre, si est une variable aléatoire positive dont la loi admet la densité continue sur , sa fonction de répartition , est dérivable sur , et dérivable à droite en 0 . On conviendra d'écrire pour tout désignant donc dans ce cas la dérivée à droite en 0.

On rappelle qu'une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre si elle admet pour densité la fonction définie par

Justifier que pour tout réel positif ou nul, le nombre est non nul.
Montrer que pour tous réels positifs et ,

2.b) Réciproquement, soit une variable aléatoire positive admettant une densité continue et strictement positive sur , et telle que pour tous réels positifs et ,

2.b.i) Soit . Justifier que est non nul pour tout réel positif.
2.b.ii) On pose . Montrer que pour tout réel positif, on a la relation .
2.b.iii) Calculer la dérivée de sur
2.b.iv) Déduire que suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
3) Soient deux réels strictement positifs et . Soient et deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois exponentielles de paramètres et .
3.a) On pose . Déterminer la fonction de répartition de et en déduire la densité de la variable .
3.b) On pose . Déterminer la fonction de répartition de et en déduire la loi de .

Soit une variable aléatoire positive qui représente la durée de vie (c'est-à-dire le temps de fonctionnement avant la survenue d'une première panne) d'un système. On suppose que est une variable à densité continue sur et ne s'annulant pas sur .
On appelle fiabilité de la fonction définie sur par

où est la fonction de répartition de .

La dégradation du système sur l'intervalle est mesurée par la probabilité .
Exprimer cette quantité à l'aide de la fonction .
2) Montrer que, pour tout réel positif ou nul,

3.a) Justifier que pour tout réel positif,

On appelle taux de défaillance la fonction définie sur par le rapport .
3.b) Montrer que .
3.c) Déduire l'expression de en fonction de à l'aide d'une intégrale.
4) Soit une variable aléatoire réelle positive de densité continue sur , admettant une espérance. On pose pour .
4.a) Soit la fonction définie sur par .

Montrer que

où désigne la dérivée de .
4.b) Montrer que .
4.c) En déduire que .
5) On suppose désormais que admet une espérance. Soit un réel positif fixé ; le système ayant fonctionné sans panne jusqu'à la date , on appelle durée de survie la variable aléatoire représentant le temps s'écoulant entre la date et la première panne.
On a donc, pour tout réel positif

5.a) Montrer que, pour tout réel positif,

5.b) En déduire que

Les questions suivantes illustrent les notions introduites précédemment pour des systèmes simples.
6)
6.a) On suppose que suit la loi exponentielle de paramètre . Déterminer la fiabilité et le taux de défaillance.
6.b) On suppose que le système est composé de deux organes 1 et 2 montés en série, dont les durées de vie sont supposées indépendantes, ce qui implique qu'il tombe en panne dès que l'un d'eux tombe en panne. On note la durée de vie de l'organe la densité de sa loi qu'on suppose exponentielle de paramètre . Déterminer la fiabilité du système et son taux de défaillance.
6.c) On suppose que le système est composé de deux organes 1 et 2 montés en parallèle, dont les durées de vie sont supposées indépendantes, ce qui implique qu'il tombe en panne quand les deux organes sont en panne. On note la durée de vie de l'organe la densité de sa loi qu'on suppose exponentielle de paramètre . Déterminer la fiabilité du système.
7) Soit la fonction définie par

où est une constante strictement positive et un entier naturel non nul.
7.a) Vérifier que est une densité de probabilité (loi d'Erlang).
7.b) On suppose que a pour densité la fonction . Montrer que la fiabilité à la date est

où
8.a) Vérifier que est une densité de probabilité (loi de Weibull).
8.b) On suppose que a pour densité la fonction . Déterminer la fiabilité et le taux de défaillance à la date .
8.c) Étudier en fonction de la valeur de .

On considère maintenant un système dont le fonctionnement est défini comme suit : pour tout réel positif, la variable aléatoire à valeurs entières représente le nombre de pannes qui se produisent dans l'intervalle [ ]. On considère que le système est réparé immédiatement après chaque panne.
On notera en particulier que pour , on a .
On suppose qu'on a les quatre propriétés suivantes

On pose, sous réserve d'existence, pour tout et pour tout dans , avec la convention .
1)
1.a) Justifier que pour tout existe pour tout dans et qu'on a, pour tout dans , .
1.b) Montrer par ailleurs que, pour tous réels et positifs ou nuls, et pour tout réel tel que , on a

On pose et, pour .
2.b) Montrer que pour tout .
2.c) Soit un entier naturel non nul. En considérant , montrer que .
2.d) Montrer que si est entier naturel et un entier naturel non nul, on a où on a posé .
2.e) Montrer que pour tout réel positif .
2.f) En déduire que pour tout .
3) Montrer par ailleurs que pour tout ,

5.a) En déduire qu'il existe tel que et que pour pour tout ,
5.b) En considérant , montrer que .
6)
6.a) On fixe un temps . Montrer que pour tout ,

6.b) Déduire que pour tout , la variable aléatoire suit la loi de Poisson de paramètre .

Une famille de variables aléatoires ayant les mêmes caractéristiques que la famille est un processus de Poisson et la constante s'appelle le paramètre du processus de Poisson.
7) Soit la variable aléatoire désignant la date de la première panne. Soit . Comparer les événements et . En déduire que suit la loi exponentielle de paramètre .
8) Pour positif fixé, on pose pour réel positif, .
8.a) Montrer que est la variable aléatoire qui représente le nombre de pannes survenues dans l'intervalle de temps .
8.b) Montrer que la famille est un processus de Poisson de paramètre .
8.c) En déduire que la première panne survenant après la date se produit à une date suivant la loi exponentielle de paramètre .
8.d) En déduire que le processus de Poisson a la propriété que, pour chaque date donnée, le taux de défaillance du système après est constant.