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BCE Maths appliquees ESSEC ECE 2009

Epreuve de maths appliquees - ECE 2009

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Probabilités continuesProbabilités finies, discrètes et dénombrementStatistiquesIntégrales généralisées
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Banque
BCE
Année
2009
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2009ECE MathématiquesMathématiques 2009

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Description

Annale de maths appliquees BCE ESSEC pour la filiere ECE, session 2009.

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BANQUE COMMUNE D'EPREUVES

CONCOURS D'ADMISSION DE 2009
Concepteur : ESSEC
ESSECM2_E

OPTION ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES II

Mardi 5 mai de 8 h à 12 h
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Notations

  • Tout au long du sujet ( ) désignera un espace probabilisé et les variables aléatoires utilisées seront toutes définies sur cet espace probabilisé. Sous réserve d'existence, l'espérance mathématique d'une variable aléatoire réelle sera notée et sa variance sera notée .
  • Pour un événement , on notera la probabilité conditionnelle de sachant où est un événement non négligeable.
Le sujet est composé de quatre parties. Les parties I, II, III et IV.A sont indépendantes. Il s'agit de variations autour de la notion de risque quadratique en théorie de l'estimation.

I. Premier problème d'estimation

Dans ce premier problème d'estimation, on dispose d'une seule observation notée . On suppose que admet pour densité définie sur par
où est un entier naturel non nul et un paramètre réel inconnu strictement positif que l'on souhaite estimer.
I. 1 Montrer que est bien une densité de probabilité.
I. 2 Calculer .
I. 3 Déterminer réel dépendant uniquement de tel que estime sans biais.
I. 4 Calculer .
On définit le risque quadratique de estimateur de par
I. 5 Redémontrer le résultat du cours précisant que pour tout estimateur de
I. 6 Donner la valeur de .
Le but de la fin de cette partie I est de déterminer un estimateur de ayant un plus petit risque quadratique que celui de .
I. 7 En utilisant I. 5 montrer que pour tout réel
où est un polynôme de degré 2 dont les coefficients ne dépendent que de .
I. 8 Montrer que la fonction atteint son minimum en un unique réel noté que l'on exprimera en fonction de .
I. 9 Conclure sur le but recherché.

II. Second problème d'estimation

Dans ce second problème d'estimation, on dispose de observations indépendantes ( ) notées de même loi de Poisson de paramètre inconnu . On souhaite estimer le paramètre .
On définit pour tout élément de la variable aléatoire par
Puis on note
II. 1 Pour tout élément de , donner la loi de .
II. 2 Donner la loi de , puis montrer que . On dira dans ce cas que est un estimateur sans biais de .
II. 3 Calculer .
Pour tout élément de on définit .
II. 4 Rappeler sans démonstration la loi de pour tout élément de .
On définit jusqu'à la fin de cette partie II pour tout entier naturel
II. 5 Montrer que pour tout entier naturel
On a donc indépendant du paramètre inconnu.
D'après la question II.5, on peut définir l'estimateur
II. 6 Montrer que admet une espérance et que . On dira dans ce cas que est un estimateur sans biais de .
II. 7 Montrer que admet une variance vérifiant
II. 8 On souhaite comparer les performances de et en tant qu'estimateurs de .
a. En utilisant le théorème des accroissements finis, démontrer que
b. Soit la fonction définie par
pour tout . Etudier les variations de .
c. En déduire que
puis l'inégalité
d. On définit le risque quadratique de estimateur de par
Comparer les risques quadratiques de et .
On reprendra à la fin de la partie IV l'étude de .

III. Information de Fisher

A. Cas discret

Dans cette section III.A, on considère un intervalle de un paramètre inconnu de et une variable aléatoire à valeurs dans . On suppose qu'il existe une fonction définie sur telle que pour tout élément de
et vérifiant pour tout de dérivable sur .
On définit sous réserve d'existence l'information de Fisher de par
III.A. 1 Dans cette question 1 , on considère variable aléatoire de loi de Bernoulli de paramètre .
On a alors et
Montrer que
III.A. 2 Dans cette question 2, on considère variable aléatoire de loi binomiale de paramètres et .
a. Montrer que
b. En déduire que
puis donner la valeur de .
III.A. 3 Dans cette question 3 , on considère une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre . Puisque , on a sous réserve de convergence
a. Montrer que la série de terme général converge et calculer sa somme .
b. Justifier que

B. Cas d'une variable gaussienne

Soit une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne et de variance 1 dont la densité est notée . On définit sous réserve de convergence l'information de Fisher de par
III.B. 1 Montrer que sous réserve de convergence
III.B. 2 En déduire l'existence et la valeur de .
III.B. 3 Justifier que

IV. Minoration du risque quadratique

A. Inégalité de Cramer-Rao

Dans cette section IV.A, on considère un intervalle de un paramètre inconnu de et une variable aléatoire telle que . On suppose qu'il existe une fonction définie sur telle que pour tout
et vérifiant :
  • pour tout dérivable sur ,
  • l'information de Fisher de notée définie dans la partie III est non nulle pour tout .
Le but de la section IV.A est de démontrer l'inégalité suivante dûe à Cramer et Rao.

Théorème de Cramer-Rao

Soit un estimateur sans biais de à savoir tel que où est dérivable sur . On a alors
IV.A. 1 Montrer que pour tout élément de
IV.A. 2 En déduire que pour tout élément de
IV.A. 3 En dérivant partiellement par rapport à les deux membres de l'égalité , montrer que pour tout élément de
IV.A. 4 Montrer que pour tout élément de
puis que
IV.A. 5 On pose pour tout réel
a. Développer le polynôme suivant les puissances décroissantes de .
b. Calculer le discriminant de et justifier que .
c. En déduire l'inégalité de Cramer-Rao.

B. Extension du théorème de Cramer-Rao

On reprend dans cette section IV.B les notations et hypothèses de la partie II. On admet que, dans ce contexte, le théorème de Cramer-Rao peut se généraliser comme suit :

Théorème de Cramer-Rao

Soit un estimateur sans biais de à savoir tel que où est dérivable sur . On a alors
où est l'information de Fisher d'une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre définie et calculée à la partie III.
Il s'agit dans cette section d'exploiter cette nouvelle inégalité de Cramer-Rao. On note
IV.B. 1 Calculer et .
IV.B. 2 Déduire de la généralisation de Cramer-Rao, que a le plus petit risque quadratique parmi les estimateurs sans biais de .
IV.B. 3 Montrer que pour où
IV.B. 4 Que prouve ce résultat en terme d'optimalité de dans l'estimation de
IV.B. 5 A la lumière de la partie I, peut-on conclure que lorsque est grand est le meilleur estimateur de en terme de risque quadratique?

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