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BCE Maths appliquees ESSEC ECE 2005

Epreuve de maths appliquees - ECE 2005

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesStatistiquesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSuites et séries de fonctions
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Banque
BCE
Année
2005
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2005ECE MathématiquesMathématiques 2005

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Description

Annale de maths appliquees BCE ESSEC pour la filiere ECE, session 2005.

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PDF
d578c6f4-6c16-4465-898f-9cd7ac6d9b9a
Concepteur : ESSEC
CODE EPREUVE :
287
ESSECM2_E

OPTION ÉCONOMIQUE

MATHEMATIQUES II

Lundi 16 mai 2005, de 14 h. à 18 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'gucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Les deux parties du problème sont indépendantes.
Dans ce problème, les variables aléatoires sont toutes définies sur un espace probabilisé ( ). Si est une variable aléatoire réelle, désigne son espérance.
Lorsque est une suite de variables aléatoires réelles, on note, pour tout .

Préliminaires

  1. Soit une suite de variables aléatòires réelles de même loi, admettant une espérance . Énoncer, avec précision, la loi faible des grands nombres pour cette suite .
  2. Soit un réel strictement positif et un sous-ensemble de tel que l'intervalle soit inclus dans le complémentaire de . Déterminer

Partie I. Un exemple discret

Dans cette partie, est une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli , avec , et est une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi que . On note . On rappelle que .
  1. a) Montrer que pour tout réel, la variable aléatoire admet une espérance .
    b) Déterminer la fonction .
  2. a) Préciser la loi de .
    b) Déterminer et la loi de la variable aléatoire .
    c) Soit réel. Montrer que .
Soit un réel fixé de .
3. a) On note . Soit un réel positif. Montrer que
b) Montrer que, pour tout
  1. On suppose dans cette question que .
    a) Étudier sur les variations de la fonction définie par
b) Montrer que la fonction atteint sur un maximum strictement positif que l'on calculera en fonction de et .
c) Montrer que
  1. On suppose dans cette question que (donc ).
    a) Déterminer là loi de la variable aléatoire .
    b) Montrer que
  1. Soit .
    a) Déduire des questions précédentes que
b) Déterminer .
7. Une entreprise souhaite acquérir une machine qui fabrique un certain type d'objets et qui, en fonctionnement normal, produit une proportion , d'objets défectueux. Le directeur veut connaître la valeur de . Pour cela il teste la machine et prélève un échantillon de , objets qu'il analyse.
Pour tout , soit la variable aléatoire de Bernoulli définie par
èééé
On suppose que dans les conditions de prélèvement, les variables aléatoires sont indépendantes.
a) Montrer que est un estimateur sans biais de .
b) Calculer le risque quadratique . Déterminer .
8. Soit un réel de . On souhaite déterminer dans cette question un intervalle de confiance du paramètre inconnu, au niveau de confiance , à partir de l'échantillon .
a) Quelle est la limite en loi de la suite ?
b) Soit la réalisation de sur l'échantillon considéré. Soit le réel défini par , où désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée, réduite.
Montrer qu'un intervalle de confiance de au niveau est doñé par tel que
avec
Partie II. Un exemple continu.
  1. Déterminer l'ensemble des réels pour lesquels l'intégrale est convergente.
Pour tout , on pose
  1. Exprimer en fonction de . En déduire la valeur de , pour .
  2. Soit fixé -Montrer que la foriction définie sur par
est une densité.
On dira qu'une variable aléatoire de densité est une variable aléatoire qui suit une loi .
On admettra que si sont deux variables aléatoires indépendantes, suivant une loi et suivant une loi , alors suit une loi .
On admettra également que, sous les mêmes hypothèses sur et , on a .
4. a) Soit une variable aléatoire réelle, suivant une loi . Calculer l'espérance .
Soit une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi que . Pour tout , on note .
b) Déterminer la loi de la variable aléatoire .
5. a) Déterminer l'ensemble des réels tels que admette une espérance . On pose alors
b) Montrer que la fonction est positive et convexe sur son domaine de définition .
c) Soit . Montrer que .
6. En utilisant le théorème de transfert, montrer que pour tout
puis que pour tout
  1. Soit . Pour tout , on pose
Étudier la fonction et dresser son tableau de variation.
8. Pour tout , on pose
Exprimer en fonction de . Montrer que si , alors .
9. Pour tout est un échantillon de la loi de . On pose .
a) Montrer que, pour tout tel que
b) Montrer que
c) Montrer que si alors
  1. Montrer que si alors
  1. Soit . Montrer que
où .

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