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BCE Maths appliquees emlyon ECG 2025

Epreuve de maths appliquees - ECG 2025

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsInformatiqueProbabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesAlgèbre linéaire
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Banque
BCE
Année
2025
Filière
ECG
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECG MathématiquesBCE ECG 2025ECG MathématiquesMathématiques 2025

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Description

Annale de maths appliquees BCE emlyon pour la filiere ECG, session 2025.

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Conception : emlyon Business School

MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES

FILIÈRE ÈCONOMIQUE ET COMMERCIALE

VOIE GÉNÉRALE

Mercredi 23 avril 2025, de 14 h. à 18 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

Partie A : Étude de la suite

On s'intéresse à la suite récurrente définie par et
  1. a) Montrer que pour tout .
    b) Donner le sens de variation de la suite .
    c) Démontrer, en raisonnant par l'absurde, que admet comme limite.
  2. Recopier et compléter le programme Python ci-dessous de sorte qu'il affiche le premier entier tel que .
import numpy as np
u = 1
n = 0
while ... :
    u = ...
    n = ...
print(...)

Partie B : Étude de la fonction

On considère la fonction définie sur par:
On note la courbe de dans le plan muni d'un repère orthonormé.
3. Calculer les limites de en et en 0 .
4. Dresser le tableau de variation de sur .
5. Soit .
a) Justifier la convergence de la série et calculer sa somme.
b) En déduire que:
  1. Soit .
    a) Établir séparément les inégalités suivantes:
b) En déduire que:
  1. Montrer que au voisinage de .
  2. Représenter sur un même dessin la courbe et la droite d'équation .

Partie C: Comportement asymptotique de la suite

  1. a) Montrer que, pour tout entier .
    b) En déduire que, pour tout entier .
  2. a) À l'aide de l'encadrement (*) montrer que, pour tout ,
b) Soit , établir:
puis
  1. a) Justifier que: .
    b) En déduire un équivalent simple de lorsque tend vers .
  2. Déterminer un équivalent simple de lorsque tend vers .

Exercice 2

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes l'une de l'autre.

Partie A : Réduction simultanée et spectre

Soit l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre trois à coefficients réels. On pose :
et on considère le sous-espace vectoriel de engendré par les matrices et .
  1. Montrer que est une base de , en déduire la dimension de .
  2. Justifier sans calcul que les matrices et sont diagonalisables.
  3. a) Exprimer la matrice comme un multiple de .
    b) En déduire que les valeurs propres de appartiennent à l'ensemble .
On pose et .
4. a) Vérifier que et sont des vecteurs propres de .
b) Déterminer un vecteur propre de associé à la valeur propre .
5. a) Justifier que ( ) est une base de .
b) Donner une matrice inversible de telle que :
  1. a) Montrer que est aussi une base de vecteurs propres de .
    b) Déterminer la matrice .
  2. Soit une matrice de de coordonnées dans la base .
    a) Exprimer la matrice sous la forme d'un tableau de nombres dépendant de et .
    b) En déduire les valeurs propres de .
  3. On considère l'application linéaire définie par:
pour toute matrice avec .
a) Donner la matrice de relativement à la base de et à la base canonique de .
b) Montrer que l'application linéaire est bijective.

Partie B : Un algorithme de coloration des graphes

Soit un entier, on considère un graphe non orienté donné par sa matrice d'adjacence . On note l'ensemble des sommets de , dans les programmes informatiques on confondra un sommet avec son numéro . On dit que deux sommets sont voisins s'ils sont distincts et reliés par une arête.
Une coloration de est une application telle que si les sommets et sont voisins. Dans cette définition, N représente l'ensemble des «couleurs» disponibles, la coloration attribue à chaque sommet une «couleur» de sorte que deux sommets voisins soient de «couleurs» différentes.
Le graphe admet la coloration triviale donnée par pour tout , il peut cependant admettre une coloration nécessitant moins de «couleurs». Ainsi, le graphe à cinq sommets ci-dessous admet la coloration à trois «couleurs» définie par: .
Figure 1 : Un graphe d'ordre cinq
Figure 2: Le graphe colorié avec trois « couleurs» ( 0,1 et 2 )
Les questions suivantes ont pour but de réaliser un programme Python qui renvoie une coloration d'un graphe quelconque, en essayant de minimiser le nombre de couleurs utilisées. On commence par rédiger deux fonctions auxiliaires, «voisins» et «min_ext», qui serviront pour la fonction finale «coloration». On suppose que la matrice d'adjacence de est définie à l'aide de la commande «np. array».
9. Recopier et compléter le programme Python ci-dessous de manière à ce qu'il définisse une fonction «voisins», prenant en arguments la matrice d'adjacence et un entier , et renvoyant la liste des sommets voisins de .
def voisins(A,i):
    n = len(A[i])
    V = []
    for j in range(n):
        if j!= i and ... :
            V.append(...)
    return(V)
  1. Rédiger en Python une fonction «min_ext» qui prend en argument une liste d'entiers naturels , et qui renvoie le plus petit entier naturel n'appartenant pas à (par exemple, si , commande «min_ext (L) » renvoie 2). On pourra transcrire en langage Python l'algorithme suivant :
On affecte à une variable la valeur 0 .
Tant que appartient à la liste :
[On augmente de 1 la valeur de .
On renvoie .
  1. À l'aide des fonctions introduites précédemment on rédige maintenant une fonction «coloration» prenant en argument la matrice d'adjacence d'un graphe , et renvoyant une coloration de sous la forme d'une liste d'entiers , où désigne la «couleur» du sommet pour tout .
    On construit cette fonction selon l'algorithme "glouton" ci-dessous :
    On affecte à la variable le nombre de sommets de .
    On affecte à la variable la liste .
    Pour allant de 1 à :
On affecte à la variable «C_voisins» la liste des «couleurs» des sommets voisins de
On affecte à le plus petit entier naturel qui n'est pas élément de la liste «C_voisins».
On renvoie la liste .
Recopier et compléter la fonction «coloration»ci-dessous.
def coloration(A):
    n = len(A[0])
    C = ...
    for i in range(1,n):
        C_voisins = [ ... for j in ... ]
        C[i] = min_ext(...)
    return(C)
  1. On note la matrice d'adjacence du graphe représenté en figure 3 ci-contre.
    a) Donner la liste obtenue en exécutant la commande «coloration(A)».
    b) Le graphe admet-il une coloration à trois couleurs? Si oui, exhiber une telle coloration.
Figure 3: Le graphe

Exercice 3

Les parties B, C et D de cet exercice sont indépendantes les unes des autres.
Toutes les variables aléatoires sont supposées définies sur un même espace probabilisé ( ).

Partie A : La variable aléatoire

Soit une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur , on note la variable aléatoire définie par:
  1. a) Justifier que est à valeurs dans .
    b) Montrer que la fonction de répartition de est donnée par:
c) En déduire que est une variable aléatoire à densité, et donner une densité de .
2. Déterminer si admet une espérance et une variance, calculer leurs valeurs éventuelles.
La variable aléatoire suit une loi de Pareto, les compagnies d'assurance utilisent cette loi pour modéliser les montants des sinistres. Afin d'établir des prévisions, un actuaire étudie une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant la même loi que , la variable aléatoire représente le coût du -ième sinistre survenu à partir d'un instant donné.

Partie B : Loi du sinistre le plus coûteux

Pour tout entier on définit une variable aléatoire en posant:
On note la fonction de répartition de .
3. a) Montrer que pour tout entier .
b) Calculer la limite pour tout .
c) Justifier que la suite ne converge en loi vers aucune variable aléatoire.
On considère une variable aléatoire dont la fonction répartition est définie par:
Pour tout entier , on note la fonction de répartition de la variable aléatoire .
4. a) Montrer que pour tout .
b) Conclure quant à la convergence en loi de la suite .

Partie C : Manipulation d'une base de données

La compagnie d'assurance tient à jour une table «sinistres» contenant des informations sur tous les sinistres qu'elle a indemnisés entre les années 2000 et 2024. Les attributs (colonnes) de cette table sont :
  • id (de type INTEGER) : numéro d'identification du sinistre,
  • annee (de type INTEGER) : année durant laquelle est survenu le sinistre,
  • mois (de type TEXT) : mois durant lequel est survenu le sinistre (on écrit le mois en minuscules),
  • montant (de type INTEGER) : montant de l'indemnisation versée à l'assuré (en euros).
  1. Rédiger une requête SQL permettant d'afficher :
    a) La liste des montants d'indemnisation des sinistres de l'année 2024.
    b) Le mois et l'année de tous les sinistres dont le montant d'indemnisation dépasse un million.
  2. Le sinistre numéro 7652 s'est produit en avril 2025 et a été indemnisé à hauteur de 1540 euros.
Rédiger une requête SQL ajoutant à la table «sinistre» une ligne correspondant à ce sinistre.

Partie D : Nombre de sinistres graves

On rappelle que est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suívant toutes la même loi que (voir partie ). On suppose que le nombre de sinistres se produisant au cours d'une année est donné par une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre . On s'intéresse au nombre de sinistres dont le coût dépasse un certain montant . On note ainsi la variable aléatoire égale au nombre d'éléments de prenant une valeur supérieure à , formellement :
où la notation désigne le cardinal.
7. Exprimer pour tout .
8. Quel est l'ensemble des valeurs prises par ?
9. Soit .
a) Justifier que la loi conditionnelle de sachant est la loi binomiale .
b) Donner la valeur de pour tout , vous distinguerez les cas et .
10. Calculer pour tout , puis reconnaître la loi de .
11. En moyenne, combien de sinistres avec un coût supérieur à surviennent en un an?

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