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BCE Maths appliquees emlyon ECE 2022

Epreuve de maths appliquees - ECE 2022

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généralisées
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Banque
BCE
Année
2022
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2022ECE MathématiquesMathématiques 2022

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Description

Annale de maths appliquees BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2022.

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Conception : emlyon business school

OPTION ÉCONOMIQUE

MATHÉMATIQUES

Mercredi 4 Mai 2022, de 14 h. à 18 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

EXERCICE 1

Dans tout l'exercice, désigne un réel de et on pose .
Toutes les variables aléatoires considérées dans cet exercice sont supposées définies sur un même espace probabilisé noté ( ).
On considère en particulier une variable aléatoire à valeurs dans , dont la loi est donnée par :

PARTIE A :

  1. Montrer que la variable aléatoire suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre.
  2. En déduire que admet une espérance et une variance, et préciser et .
  3. Compléter la fonction Scilab suivante afin que, prenant en entrée le réel , elle renvoie une simulation de la variable aléatoire .
function X = simule_X(p)
    Y = ......
    while ......
        Y = Y + 1
    end
    X = Y - 1
endfunction

PARTIE B :

Un casino a conçu une nouvelle machine à sous dont le fonctionnement est le suivant :
  • le joueur introduit un nombre de jetons de son choix ( ), puis il appuie sur un bouton pour activer la machine;
  • si est égal à zéro, alors la machine ne reverse aucun jeton au joueur;
  • si est un entier supérieur ou égal à 1 , alors la machine définit variables aléatoires , toutes indépendantes et de même loi que la variable aléatoire étudiée dans la partie A , et reverse au joueur jetons;
  • les fonctionnements de la machine à chaque activation sont indépendants les uns des autres et ne dépendent que du nombre de jetons introduits.
Le casino s'interroge sur la valeur à donner à pour que la machine soit attractive pour le joueur, tout en étant rentable.
Le casino imagine alors le cas d'un joueur invétéré qui, avant chaque activation, place l'intégralité de ses jetons dans la machine, et continue de jouer encore et encore.
On note, pour tout de la variable aléatoire égale au nombre de jetons dont dispose le joueur après activations de la machine.
On suppose que le joueur commence avec un seul jeton; ainsi .
On remarque en particulier que suit la même loi que .
4. Compléter la fonction Scilab suivante afin que, prenant en entrée un entier de et le réel , elle simule l'expérience aléatoire et renvoie la valeur de .
Cette fonction devra utiliser la fonction simule_X.
function Z = simule_Z(n,p)
    Z = 1
    for i = 1 : n
        s = 0
        for j = 1 : Z
            ......
        end
        Z = ......
    end
endfunction
On définit, pour tout de la probabilité que le joueur n'ait plus de jeton après activations de la machine; ainsi: .
On note également l'événement : « le joueur finit par ne plus avoir de jeton».
5. a. Préciser les valeurs de et de .
b. Comparer, pour tout de , les événements et .
En déduire que la suite est monotone et convergente.
Dans la suite de l'exercice, on note .
6. Justifier : .
7. a. Montrer que, pour tout de , on a : .
On admet que, pour tout de et pour tout de , on a : .
b. En déduire: .
8. a. Montrer que vérifie : .
b. On suppose . Montrer : .
c. On suppose . Montrer : . En déduire : .
d. Expliquer pourquoi le casino préférera choisir dans l'intervalle .

PARTIE C :

On suppose à présent que .
Le casino cherche la valeur à donner à pour que le joueur joue le plus longtemps possible dans le casino et ainsi, dépense plus d'argent dans ses consommations au bar.
On note la variable aléatoire égale au nombre d'activations de la machine effectuées par le joueur lorsque, pour la première fois, celui-ci n'a plus de jeton.
On pose, pour tout de .
9. Justifier : puis .
10. Montrer, pour tout de .
11. On suppose dans cette question que .
a. Montrer : .
b. En déduire que la variable aléatoire n'admet pas d'espérance.
12. On suppose maintenant que .
On pose, pour tout de .
a. Montrer : .
b. En déduire : puis : .
c. Montrer que la variable aléatoire admet une espérance et que l'on a : .
13. Quelle(s) valeur(s) de recommanderiez-vous au casino ?

EXERCICE 2

On rappelle que désigne l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels et que la famille est une base de .
Pour toute matrice de , on appelle trace de le récl noté défini par :
Soit une matrice non nulle de . On définit alors l'application sur par :
  1. a. Montrer que l'application tr : est linéaire.
    b. Déterminer une base du noyau de l'application tr et vérifier : .
  2. Montrer que est un endomorphisme de .
  3. Dans cette question uniquement, on considère le cas où .
    a. Déterminer la matrice, notée , de dans la base .
    b. Vérifier : où désigne la matrice identité de .
    c. En déduire les valeurs propres de . La matrice est-elle diagonalisable?
    d. Justifier que est inversible et déterminer .
  4. On revient au cas général où désigne une matrice non nulle quelconque de .
    a. Montrer que 1 est une valeur propre de et préciser la dimension du sous-espace propre associé.
    b. Justifier que est un vecteur propre de et préciser la valeur propre associée.
    c. i. On considère dans cette sous-question le cas où .
Montrer que est diagonalisable. Préciser ses valeurs propres et une base de chacun de ses sous-espaces propres.
ii. On considère dans cette sous-question le cas où .
On suppose qu'il existe une valeur propre de différente de 1 et on note un vecteur propre associé. Montrer : .
Aboutir à une contradiction.
iii. En déduire une condition nécessaire et suffisante sur pour que soit diagonalisable.
d. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur pour que soit bijectif.

EXERCICE 3

PARTIE A :

On considère la fonction définie sur par :
  1. Montrer que est continue sur .
  2. a. Montrer : .
    b. Justifier que est de classe sur et sur et déterminer sur ces intervalles.
    c. En déduire la monotonie de sur .
  3. a. Donner le développement limité à l'ordre 2 en 0 de .
    b. Montrer que est dérivable en 0 et que .
    c. Montrer enfin que est de classe sur .
  4. Déterminer les limites de en et en 1 .
  5. Tracer l'allure de la courbe représentative de dans un repère orthonormé en faisant apparaître la tangente en 0 .

PARTIE B :

On considère maintenant la fonction définie sur ] par :
On rappelle que la série converge et on admet : .
6. Justifier que est de classe sur et préciser sur .

7. Étude de en 1 :

a. Montrer, à l'aide d'un changement de variable :
b. Montrer : .
c. Montrer que, pour tout de , l'intégrale converge et :
d. Montrer que la fonction est bornée sur .
(On pourra commencer par calculer les limites en 0 et en 1 ).
En déduire que, pour tout de , l'intégrale converge puis montrer :
e. À l'aide de la question 7.b, montrer que l'intégrale converge puis que l'on a :
f. En déduire que est prolongeable par continuité en 1 en posant .
On note encore la fonction ainsi prolongée en 1 .
8. a. Justifier que la fonction est dérivable sur ; 0 [ et sur [ et calculer sa dérivée sur ces intervalles.
b. En déduire : .
c. Préciser alors la valeur de .

PARTIE C :

On considère enfin la fonction définie sur l'ouvert ] par :
On admet que la fonction de classe sur .
9. a. Calculer, pour tout de , les dérivées partielles d'ordre 1 de au point .
b. En déduire que admet comme unique point critique.
10. a. Montrer que la matrice hessienne, notée , de au point est : .
b. Déterminer les valeurs propres de .
11. La fonction présente-t-elle un extremum local sur ?

- FIN -

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