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BCE Maths appliquees emlyon ECE 2021

Epreuve de maths appliquees - ECE 2021

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries et familles sommablesProbabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesAlgèbre linéaireRéduction
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Banque
BCE
Année
2021
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2021ECE MathématiquesMathématiques 2021

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Description

Annale de maths appliquees BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2021.

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Conception : emlyon business school

OPTION ÉCONOMIQUE

MATHÉMATIQUES

Mardi 27 avril 2021, de 14h. à 18 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

PROBLÈME 1

On considère la fonction définie sur ] par :

PARTIE A : Étude de la fonction

  1. Montrer que la fonction est continue sur ].
  2. a. Justifier que est de classe sur [ et calculer, pour tout de ] .
    b. En déduire les variations de sur ].
    c. La fonction est-elle dérivable en 1 ?
  3. Calculer la limite de en .
  4. Tracer l'allure de la courbe représentative de en soignant le tracé aux voisinages de 0 et de 1 .
  5. a. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'intégrale converge et calculer sa valeur.
    b. En déduire : .

PARTIE B : Étude de deux séries

Soit un réel appartenant à .
6. a. Vérifier, pour tout de et tout de : .
b. En déduire, pour tout de .
7. Montrer, pour tout de .
En déduire la limite de lorsque l'entier tend vers .
8. Montrer alors que la série converge et que l'on a: .
9. a. Déterminer deux réels et tels que : .
b. En déduire que la série converge et que l'on a : .
10. Montrer que la série converge et que l'on a encore: .

PARTIE C : Application en probabilité

Dans cette partie, toutes les variables aléatoires sont supposées définies sur un même espace probabilisé noté ( ).
On considère une urne contenant initialement une boule bleue et une boule rouge. On procède à des tirages successifs d'une boule au hasard selon le protocole suivant :
  • si on obtient une boule bleue, on la remet dans l'urne et on ajoute une boule bleue supplémentaire;
  • si on obtient une boule rouge, on la remet dans l'urne et on arrête l'expérience.
On suppose que toutes les boules sont indiscernables au toucher et on admet que l'expérience s'arrête avec une probabilité égale à 1 . On note la variable aléatoire égale au nombre de boules présentes dans l'urne à la fin de l'expérience.
11. a. Montrer soigneusement: .
b. La variable aléatoire admet-elle une espérance?
12. Recopier et compléter les lignes incomplètes de la fonction Scilab suivante de façon à ce qu'elle renvoie une simulation de la variable aléatoire .
function N = simuleN()
    b = 1 // b désigne le nombre de boules bleues dans l'urne
    while rand() < ......
        b = b+1
    end
    N = ......
endfunction
On considère une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi. On suppose que, pour tout de , les variables aléatoires et sont mutuellement indépendantes.
On note la fonction de répartition commune aux variables aléatoires , pour appartenant à .
On définit la variable aléatoire , ce qui signifie :
Ainsi par exemple, si prend la valeur 3, alors ; si prend la valeur 5, alors etc.
13. a. Montrer : .
b. En déduire : .
14. On suppose dans cette question uniquement que, pour tout de , la variable aléatoire suit la loi uniforme sur .
a. On rappelle que l'instruction grand ( , 'unf', 0,1 ) renvoie une matrice de où les coefficients sont des réalisations de variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur .
Écrire une fonction Scilab d'en-tête function simuleT() qui renvoie une simulation de la variable aléatoire .
b. On considère la fonction Scilab suivante :
function m = mystere()
    m = zeros(1,3)
    for k = 1 : 3
        s = zeros(1,1000)
        for j = 1 : 1000
            s(j) = simuleT()
        end
        m(k) = mean(s)
    end
endfunction
À son appel, on obtient :
ans =
0.7474646 0.7577248 0.7470916
Que renvoie la fonction mystere? Que peut-on conjecturer sur la variable aléatoire ?
c. Montrer :
d. En déduire que est une variable aléatoire à densité.
e. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que admet une espérance et calculer .
15. On suppose dans cette question uniquement que, pour tout de , la variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre avec .
a. Rappeler une expression de la fonction de répartition d'une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre .
b. En déduire une expression de la fonction de répartition de .
c. Montrer que est une variable aléatoire à densité et qu'une densité de est la fonction
d. Justifier que admet une espérance et que l'on a : .
En déduire la valeur de .

PROBLÈME 2

Pour tout de , on définit la matrice par :
Pour tout de , on appelle cardinal de l'ensemble , noté Card , le nombre d'éléments distincts de cet ensemble.
Par exemple, si , alors ; si et , alors .
Pour tout de , on s'intéresse dans ce problème au nombre de valeurs propres distinctes de la matrice et on souhaite démontrer la propriété () suivante:
() est inversible .

PARTIE A : Généralités

  1. Justifier que, pour tout de , la matrice est diagonalisable.
  2. Soit .
    a. Montrer que la matrice ne peut pas admettre une unique valeur propre.
On pourra par exemple raisonner par l'absurde.
b. En déduire que la matrice admet soit deux soit trois valeurs propres distinctes.
3. Soient et la base canonique de .
On pose l'endomorphisme de dont la matrice dans la base est .
a. Écrire la matrice de dans la base .
b. En déduire que les matrices et ont les mêmes valeurs propres.
c. De la même façon, montrer que les matrices et ont les mêmes valeurs propres.
Ces deux derniers résultats permettent de justifier que les valeurs propres de la matrice ne dépendent pas de l'ordre des réels du triplet ( ).

PARTIE B : Cas où

  1. Dans cette question uniquement, on suppose que et on note .
    a. Calculer . Déterminer alors un polynôme annulateur de .
    b. En déduire les valeurs propres de et préciser une base des sous-espaces propres de .
    c. Déterminer une matrice inversible de et une matrice diagonale de telles que: .
  2. Soit .
    a. Vérifier : .
    b. En déduire que la matrice admet exactement deux valeurs propres distinctes et les déterminer en fonction de .
    c. Vérifier la propriété (*) pour la matrice .
PARTIE C : Cas où Card
6. Dans cette question uniquement, on suppose que et que .
On note .
a. Justifier que 0 est une valeur propre de .
b. Soit un réel non nul.
i. Soit . Montrer l'équivalence :
ii. En déduire: est une valeur propre de .
c. Montrer alors que admet trois valeurs propres distinctes.
7. Soit tel que .
a. Exprimer comme une combinaison linéaire de et de .
b. En déduire que la matrice admet trois valeurs propres distinctes.
c. Vérifier la propriété ( ) pour la matrice .
8. Soit tel que .
À l'aide de la conclusion de la question 3., montrer que la matrice admet trois valeurs propres distinctes et vérifier la propriété (*) dans ce cas.
PARTIE D : Cas où
9. Soit tel que .
On note la fonction définie sur l'ensemble par :
a. Dresser le tableau de variations de sur en y précisant les limites en , en , ainsi qu'à gauche et à droite de , de et de .
b. En déduire que l'équation , d'inconnue , admet exactement trois solutions distinctes , vérifiant : .
c. Soit une solution de l'équation .
On note la matrice colonne de définie par :
Montrer que est un vecteur propre de la matrice associé à la valeur propre .
d. En déduire que la matrice admet trois valeurs propres distinctes.
10. Soit tel que .
a. Montrer que la matrice admet trois valeurs propres distinctes.
b. Vérifier la propriété (*) pour la matrice .
11. On pose: .
a. Justifier que la matrice est inversible.
b. On note la plus grande valeur propre de .
i. Montrer : .
ii. Recopier et compléter les lignes incomplètes de la fonction Scilab ci-dessous afin qu'elle renvoie une valeur approchée de à près à l'aide de la méthode de dichotomie.
function alpha = valeur_approchee()
    x = 4
    y = 5
    while ......
        m = (x+y)/2
        if 1/m + 1/(m-1) + 1/(m-2) ...... then
            ......
        else
            ......
        end
    alpha = (x+y)/2
    end
endfunction

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