Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesAlgèbre linéaireProbabilités continuesStatistiques
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
EXERCICE 1
On considère la fonction définie sur par :
PARTIE A : Étude de la fonction
Montrer que est dérivable sur et que l'on a :
a. Justifier : .
b. En déduire que la fonction est strictement croissante sur .
a. Montrer que la fonction est prolongeable par continuité en 0 .
On note encore la fonction ainsi prolongée en 0 . Préciser .
b. Montrer que est dérivable en 0 et préciser .
4. Calculer la limite de en 1 . Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de ?
5. Tracer l'allure de la courbe représentative de dans un repère orthonormé, en faisant figurer la tangente en 0 et les branches infinies éventuelles.
PARTIE B : Étude d'une suite
On note, pour tout de l'équation : .
6. Soit . Étudier les variations sur de la fonction .
En déduire que l'équation admet une unique solution sur que l'on note .
7. Montrer que, pour tout de appartient à l'intervalle .
8. Déterminer et .
9. a. Recopier et compléter la fonction Scilab suivante afin que, prenant en argument un entier de , elle renvoie une valeur approchée de à près, obtenue à l'aide de la méthode par dichotomie.
function u = valeur_approchee(n)
a = 0
b = 1
while ...
c = (a+b)/2
if ( }\mp@subsup{c}{}{\wedge}n+c-1)>0 the
...
else
...
end
u = ...
end
endfunction
b. On représente alors les premiers termes de la suite et on obtient le graphe suivant. Quelles conjectures peut-on faire sur la suite concernant sa monotonie, sa convergence et son éventuelle limite?
10. a. Montrer, pour tout de .
b. En déduire que la suite est croissante.
c. Montrer que la suite converge et préciser sa limite.
PARTIE C : Étude d'une fonction de deux variables
On considère la fonction de classe sur l'ouvert définie par :
a. Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de en tout point ( ) de .
b. Montrer que la fonction admet ( ) comme unique point critique, où le réel est l'unique solution sur de l'équation ( ) définie dans la partie .
a. Écrire la matrice hessienne, notée , de la fonction au point .
b. Montrer que la matrice admet deux valeurs propres distinctes, notées et , vérifiant :
La fonction présente-t-elle des extrema locaux sur ?
EXERCICE 2
On définit, pour tous réels et la matrice carrée d'ordre 4 par :
et on note : .
L'objectif de cet exercice est de déterminer les matrices de qui sont diagonalisables.
a. Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
Déterminer une base de et sa dimension.
b. Le produit de deux matrices quelconques de appartient-il encore à ?
2. Étude du cas et .
Justifier que la matrice est diagonalisable.
3. Étude du cas et .
Soit un réel non nul. On note la matrice .
a. Calculer et déterminer un polynôme annulateur de .
b. En déduire les valeurs propres de la matrice et préciser une base de chacun des sous-espaces propres associés.
c. En déduire que la matrice est diagonalisable. Déterminer une matrice de inversible et une matrice de diagonale telles que : .
4. Étude du cas et .
Soit un réel non nul. On note la matrice .
a. Déterminer le rang des matrices et désignant la matrice identité d'ordre 4 .
b. En déduire l'ensemble des valeurs propres de en précisant la dimension des sous-espaces propres associés.
c. La matrice est-elle diagonalisable ?
5. Étude du cas et .
Soient et deux réels non nuls. On note l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est .
On pose : et .
a. Montrer que est de dimension 2 et préciser une base de .
b. Montrer que la famille est une base de .
c. Déterminer la matrice notée de l'endomorphisme dans la base .
d. Soient un réel non nul et une matrice colonne de .
Montrer : est un vecteur propre de associé à la valeur propre
e. On suppose dans cette question uniquement que .
Déterminer les valeurs propres de . En déduire que la matrice est diagonalisable.
f. On suppose dans cette question uniquement que .
Justifier que n'admet aucune valeur propre. La matrice est-elle diagonalisable?
g. Montrer l'équivalence :
EXERCICE 3
Dans cet exercice, toutes les variables aléatoires sont supposées définies sur un même espace probabilisé noté ( ).
PARTIE A : Loi de Pareto
Soient et deux réels strictement positifs. On définit la fonction sur par :
Montrer que est une densité de probabilité.
On dit qu'une variable aléatoire suit la loi de Pareto de paramètres et lorsqu'elle admet pour densité la fonction .
Dans toute la suite de l'exercice, on considère une variable aléatoire suivant la loi de Pareto de paramètres et .
2. Déterminer la fonction de répartition de .
3. a. Soit un variable aléatoire suivant la loi uniforme sur .
Montrer que la variable aléatoire suit la loi de Pareto de paramètres et .
b. En déduire une fonction Scilab d'en-tête function pareto( ) qui prend en arguments deux réels et strictement positifs et qui renvoie une simulation de la variable aléatoire .
c. On considère la fonction Scilab ci-dessous.
Que contient la liste L renvoyée par la fonction mystere?
function L = mystere(a,b)
L = []
for p = 2 : 6
S = 0
for k = 1 : 10^p
S = S + pareto(a,b)
end
L = [L, S/10^p]
end
endfunction
d. On exécute la fonction précédente avec différentes valeurs de et de .
Comment interpréter les résultats obtenus?
--> mystere(2,1)
ans =
1.9306917 1.9411352 1.9840089 1.9977684 2.0012415
--> mystere(3,2)
ans =
3.1050951 3.0142956 2.9849407 2.9931656 2.9991517
--> mystere(1,4)
ans =
21.053151 249.58609 51.230522 137.64549 40.243918
a. Montrer que admet une espérance si et seulement si et que, dans ce cas,
b. Montrer que admet une variance si et seulement si et que, dans ce cas,
PARTIE B : Estimation du paramètre
On suppose dans cette partie uniquement que et on cherche à déterminer un estimateur performant de .
Ainsi, la variable aléatoire admet pour densité la fonction définie par :
Soient et des variables aléatoires indépendantes, toutes de même loi que .
On définit: et .
On admet que et sont encore des variables aléatoires définies sur ( ).
5. a. Calculer, pour tout de .
b. En déduire que suit une loi de Pareto dont on précisera les paramètres.
c. Montrer que est un estimateur sans biais de .
Calculer le risque quadratique de cet estimateur.
6. a. Déterminer l'espérance et la variance de .
b. En déduire un estimateur noté sans biais de de la forme où est un réel à préciser. Calculer le risque quadratique de cet estimateur.
7. Entre et , quel estimateur choisir? Justifier.
PARTIE C : Estimation du paramètre
On suppose dans cette partie uniquement que et on cherche à construire un intervalle de confiance pour .
Ainsi, la variable aléatoire admet pour densité la fonction définie par :
Soit une suite de variables aléatoires indépendantes, toutes de même loi que .
8. Soit . On pose : .
Montrer que la variable aléatoire suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
En déduire l'espérance et la variance de .
9. On définit, pour tout de et .
a. Justifier que la suite de variables aléatoires converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
b. En déduire que l'intervalle est un intervalle de confiance asymptotique pour a au niveau de confiance .
On admettra que , où désigne la fonction de répartition d'une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
