BCE Maths appliquees emlyon ECE 2014
Epreuve de maths appliquees - ECE 2014
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre linéaireCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesSéries et familles sommables
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Annale de maths appliquees BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2014.
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Conception : EMLYON Business School
épreuve (option économique) MATHÉMATIQUES
Mardi 29 avril 2014 de 8 heures à 12 heures
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
EXERCICE 1
On considère l'application
Partie I : Étude de la fonction
- Montrer que
est de classe sur , calculer, pour tout de et , et montrer : . - Étudier le sens de variation de
et calculer .
En déduire le sens de variations de
- Déterminer la limite de
lorsque tend vers 0 par valeurs strictement positives. - Déterminer la limite de
lorsque tend vers , et la limite de lorsque tend vers . - On admet :
. Montrer : .
On note
6. Montrer que
7. Dresser le tableau de variations de
6. Montrer que
7. Dresser le tableau de variations de
Tracer l'allure de
On précisera la nature de la branche infinie au voisinage de 0 et la nature de la branche infinie au voisinage de
On précisera la nature de la branche infinie au voisinage de 0 et la nature de la branche infinie au voisinage de
Partie II : Étude d'extremum pour une fonction réelle de deux variables réelles
On note
- Représenter graphiquement l'ensemble
. - Montrer que
est de classe sur l'ouvert et calculer, pour tout ( ) de , les dérivées partielles premières et les dérivées partielles secondes de au point . - Établir que, pour tout
de est un point critique de si et seulement si :
- En déduire que
admet un point critique et un seul, et qu'il s'agit de ( ). - Est-ce que
admet un extremum local en ( ) ? - Est-ce que
admet un extremum local sur ?
Partie III : Étude d'une suite et d'une série
On considère la suite réelle
14. Montrer que, pour tout
15. Montrer que la suite
16. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier naturel
17. Quelle est nature de la série de terme général
14. Montrer que, pour tout
15. Montrer que la suite
16. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier naturel
17. Quelle est nature de la série de terme général
EXERCICE 2
On considère l'espace vectoriel
On définit :
On définit :
- Montrer que
est un espace vectoriel et que ( ) est une base de .
Quelle est la dimension de
2. Établir que
2. Établir que
- Montrer que, pour toute matrice
de , si est inversible, alors .
Pour toute matrice
4. Montrer que
5. Vérifier que
6. Est-ce que
4. Montrer que
5. Vérifier que
6. Est-ce que
On note
7. Calculer
8. Montrer que
9. Est-ce que
10. Soit
7. Calculer
8. Montrer que
9. Est-ce que
10. Soit
On note
11. Calculer
12. Calculer, pour tout
13. Trouver une matrice
11. Calculer
12. Calculer, pour tout
13. Trouver une matrice
Existe-t-il un endomorphisme
EXERCICE 3
Pour tout entier
Ainsi, pour tout entier
Pour tout
Ainsi, pour tout entier
Pour tout
Partie I: Étude du cas
On suppose dans cette partie uniquement que
- a. Exprimer l'événement
à l'aide d'événements faisant intervenir les variables aléatoires . En déduire .
b. Montrer que, et en déduire . - Calculer l'espérance de
.
Partie II : Cas général
Dans toute cette partie,
3. Pour tout
4. Calculer
5. Montrer, pour tout
6. En déduire une expression simple de
7. Soit
3. Pour tout
4. Calculer
5. Montrer, pour tout
6. En déduire une expression simple de
7. Soit
En déduire :
Vérifier que cette dernière égalité reste valable pour
8. Exprimer, pour tout
9. En déduire:
10. Montrer :
Vérifier que cette dernière égalité reste valable pour
8. Exprimer, pour tout
9. En déduire:
10. Montrer :
Partie III : Une convergence en loi
On s'intéresse dans cette partie à la suite de variables aléatoires
11. Soit
12. Montrer que la série
11. Soit
12. Montrer que la série
On admet qu'il existe une variable aléatoire
- Montrer que
admet une espérance et la calculer.
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