épreuve (option économique)

Mardi 2 mai 2006 de 8 heures à 12 heures

Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

On considère les trois matrices de suivantes :

1.a. Quelles sont les valeurs propres de ?
b. Déterminer une matrice inversible telle que : .

On note l'ensemble des matrices carrées d'ordre deux telles que : .
2.a. Vérifier que est un sous-espace vectoriel de .
b. Soit une matrice de .

Montrer que appartient à si et seulement si : et .
c. Établir que ( ) est une base de .
d. Calculer le produit . Est-ce que est élément de ?
3. On note l'application définie, pour toute , par :

a. Vérifier que est linéaire.
b. Déterminer le noyau de et donner sa dimension.
c. Quelle est la dimension de l'image de ?
d. Déterminer les matrices de telles que .

En déduire que 1 est valeur propre de .
Montrer que -1 est aussi valeur propre de .
e. Est-ce que est diagonalisable ?
f. Montrer : .

On note l'application définie, pour tout par :

1.a. Montrer que et sont des points critiques de .
b. Est-ce que présente un extrémum local au point ( 4,2 ) ?

Est-ce que présente un extrémum local au point ?
2. On note l'application définie, pour tout , par :

a. Montrer : .
b. En déduire : et .
3. On considère la suite réelle définie par et :

a. Exprimer en fonction de à l'aide de la fonction .
b. Montrer : .

Quelle est la nature de la série de terme général ?
c. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier naturel tel que .
4. On note l'application définie, pour tout , par :

a. Montrer que l'intégrale converge.
b. Trouver trois réels tels que :

c. Calculer .

Soit la fonction définie sur .
2. Montrer que la fonction définit une fonction de répartition d'une variable aléatoire dont on déterminera une densité .
3. Soit une variable aléatoire admettant pour densité.
a. Montrer que admet une espérance et que .
b. Déterminer, pour tout réel , la probabilité . On distinguera les cas et .
c. Montrer que la variable aléatoire suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre. En déduire que admet une variance et calculer .

Ainsi, pour tout .
Rappeler la valeur de l'espérance et celle de la variance de la variable aléatoire .
2. Soient un entier supérieur ou égal à 2 et variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi géométrique de paramètre .
On considère la variable aléatoire .
a. Déterminer l'espérance et l'écart-type de .
b. Montrer que existe et exprimer sa valeur à l'aide de .