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BCE Maths appliquees emlyon ECE 2001

Epreuve de maths appliquees - ECE 2001

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Algèbre linéaireRéductionFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsProbabilités continuesIntégrales généralisées
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Banque
BCE
Année
2001
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2001ECE MathématiquesMathématiques 2001

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Annale de maths appliquees BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2001.

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Programme ESC d'E.M.LYON

CONCOURS D'ENTREE 2001

MATHEMATIQUES 1ère épreuve (option économique)

Les candidats ne doivent pas faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Exercice 1

On considère la matrice carrée réelle d'ordre quatre :
et l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est .
  1. Montrer que n'est pas inversible. En déduire que 0 est valeur propre de .
  2. (a) Calculer .
    (b) Etablir que 0 est la seule valeur propre de .
    (c) Déterminer la dimension du noyau de .
    (d) Est-ce que est diagonalisable ?
  3. On note , et .
    (a) Montrer que est une base de .
    (b) Déterminer la matrice de relativement à la base de .
  4. Existe-t-il un automorphisme de l'espace vectoriel tel que ?

Exercice 2

On considère l'application , définie, pour tout de , par :
  1. (a) Montrer que est continue sur .
    (b) Montrer que est de classe sur . Pour tout , calculer .
    (c) Montrer que tend vers lorsque tend vers 0 .
    (d) En déduire que est sur .
  2. (a) Montrer que est de classe sur et que:
    (b) Etudier les variations de la fonction , définie, pour tout de , par:
En déduire : .
(c) En déduire le sens de variation de . On précisera la limite de en . Dresser le tableau de variation de .
(d) Tracer l'allure de la courbe représentative de .
3. On considère la suite définie par et : .
(a) Montrer :
(b) Résoudre l'équation , d'inconnue ; .
(c) Montrer :
(d) Etablir que la suite converge et déterminer sa limite.

Exercice 3

  1. Pour tout entier naturel , on considère la fonction définie par :
(a) Soit . Montrer que .
En déduire que l'intégrale est convergente.
(b) Montrer : .
(c) En déduire:
(d) Montrer que, pour tout entier naturel , la fonction est la densité de probabilité d'une variable aléatoire.
  1. Pour tout entier naturel , on définit la variable aléatoire admettant pour densité de probabilité.
    (a) Montrer que, pour tout entier naturel , l'espérance et la variance vérifient:
(b) Dans cette question, on suppose que . On donne les valeurs approchées à suivantes:
Tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction de répartition de . Déterminer une valeur décimale approchée de la probabilité et une valeur décimale approchée de la probabilité .
3. Pour tout réel , on définit la variable aléatoire égale au nombre de voitures arrivant à un péage d'autoroute de l'instant 0 à l'instant .
On suppose que la variable aléatoire suit une loi de Poisson de paramètre .
(a) Rappeler, pour tout réel , les valeurs de l'espérance et de la variance de .
Pour tout entier naturel non nul, on définit la variable aléatoire réelle , prenant ses valeurs dans , égale à l'instant d'arrivée de la voiture au péage à partir de l'instant 0 .
(b) Soient et .
Justifier l'égalité de l'événement ( ) et de l'événement ( )
(c) En déduire, pour tout entier naturel non nul, la fonction de répartition de la variable aléatoire réelle .
(d) Montrer que, pour tout entier naturel non nul, la variable aléatoire admet comme densité de probabilité.
  • FIN -

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