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BCE Maths appliquees EDHEC ECE 2022

Epreuve de maths appliquees - ECE 2022

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Algèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementIntégrales généraliséesSuites et séries de fonctionsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Banque
BCE
Année
2022
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2022ECE MathématiquesMathématiques 2022

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Description

Annale de maths appliquees BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2022.

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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

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553be0c4-30a7-4406-9e4f-154a5cd23211

Conception : EDHEC

OPTION ECONOMIQUE

MATHÉMATIQUES

Mercredi 11 mai 2022, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

On note et on rappelle que ( ) est la base canonique de .
On considère l'application qui, à toute matrice de , associe :
  1. Montrer que est un endomorphisme de .
  2. a) Exprimer et comme combinaisons linéaires de .
    b) Expliquer comment est construite la matrice de dans la base ( ) puis expliciter .
    c) En déduire que est diagonalisable.
  3. a) Déterminer le rang de , puis donner une base de .
    b) En déduire la dimension de , puis montrer que est une base de .
  4. a) Calculer puis montrer que .
    b) En déduire les valeurs propres possibles de .
  5. En Scilab, la commande (M) renvoie dans la variable le rang de la matrice . On a saisi :
A= [0,-1,1,0;-1,0,0,1;1,0,0,-1;0,1,-1,0]
r1=rank (A-2*eye (4,4))
r2=rank (A+2*eye (4, 4))
disp(r1,'r1=')
disp(r2,'r2=')
Scilab a renvoyé:
Que peut-on conjecturer quant aux valeurs propres non nulles de et à la dimension des sous-espaces propres associés ?
6) a) Résoudre les systèmes et , avec .
b) Déterminer le spectre de ainsi que les sous-espaces propres de .

Exercice 2

On désigne par un entier naturel non nul, par un réel de et on pose .
Dans la suite, on s'intéresse à un jeu vidéo au cours duquel le joueur doit essayer, pour gagner, de réussir, dans l'ordre, niveaux numérotés , ce joueur ne pouvant accéder à un niveau que s'il a réussi le niveau précédent. Le jeu s'arrête lorsque le joueur échoue à un niveau ou bien lorsqu'il a réussi les niveaux du jeu.
Pour tout entier de , on dit que le joueur a le niveau si, et seulement si, il a réussi le niveau et échoué au niveau . On dit que le joueur a le niveau , et seulement si, il a réussi le niveau et on dit que le joueur a le niveau 0 s'il a échoué au niveau 1.
On admet que la probabilité de passer d'un niveau à un autre est constante et égale à , la probabilité d'accéder au niveau 1 étant, elle aussi, égale à .
On note le niveau du joueur et on admet que est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé ( ) que l'on ne cherchera pas à déterminer.
Pour tout de , on note l'événement : « le joueur réussit le niveau ».
  1. Compléter le script Scilab suivant afin qu'il permette de simuler ce jeu et d'afficher la valeur prise par dès que l'utilisateur saisit une valeur pour .
p=input('entrez la valeur de p dans 10;1[ :')
n=input('entrez la valeur de n :')
X=--------
while _-_--- & rand()<=p
    X=--------
end
disp(X, 'le niveau du joueur est :')
  1. a) Justifier soigneusement que l'ensemble des valeurs prises par est .
    b) Déterminer la probabilité .
    c) Écrire l'événement à l'aide de certains des événements puis déterminer la probabilité .
    d) Écrire, pour tout entier de , l'événement à l'aide de certains des événements puis déterminer la probabilité . Vérifier que l'expression trouvée reste valable pour .
  2. Vérifier par le calcul que .
  3. a) Expliquer pourquoi admet une espérance et écrire cette dernière sous forme d'une somme dépendant de et de .
    b) Déterminer .
  4. a) Montrer que, pour tout entier naturel et pour tout entier supérieur ou égal à , on a .
    b) En déduire que la suite . converge en loi vers une certaine variable aléatoire .
    c) On pose .
Reconnaître la loi de puis en déduire l'espérance de et la comparer à .

Exercice 3

  1. Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 , on considère la fonction définie, pour tout réel de , par :
Dresser le tableau de variations de .
2) Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 , on pose : .
Montrer que, pour tout entier naturel non nul, on a :
  1. Montrer que la série de terme général est convergente.
  2. Pour tout de , on pose : .
    a) Justifier que la suite est convergente. On note (on prononce gamma) sa limite.
    b) Vérifier que puis établir que .
    c) Montrer que la suite est croissante.
  3. a) Déterminer les deux réels et tels que, pour tout de et pour tout de , on ait , puis montrer que :
b) Vérifier que, pour tout entier naturel non nul, on a :
  1. Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 , on pose : .
    a) Montrer que la suite converge et donner sa limite.
    b) Justifier que, pour tout entier naturel non nul, on a : . En déduire que la suite est décroissante.
    c) Donner alors un encadrement de à l'aide des réels et .
  2. a) En utilisant l'encadrement trouvé ci-dessus, préciser ce que représente pour lorsque est inférieur ou égal à ?
    b) Déterminer , puis compléter le script Scilab suivant afin qu'il affiche une valeur approchée de à près.
n=1
s=1-log(2)
while ---
    n=---
    s=s+---
end
disp(---)

Problème

Partie 1

Pour tout couple d'entiers naturels, on pose .
  1. a) Expliquer rapidement pourquoi cette intégrale est bien définie.
    b) Montrer, grâce à une intégration par parties, que l'on a :
On admet que l'on peut en déduire par récurrence l'égalité :
  1. a) Pour tout couple ( ) d'entiers naturels, déterminer puis exprimer en fonction de et .
    b) Montrer enfin que : .

Partie 2

Dans cette partie, on désigne par un entier naturel quelconque et on pose .
On considère la fonction définie par : .
3) Montrer que est une densité.
On considère désormais une suite de variables aléatoires , où admet comme densité.
4) Reconnaître la loi de .
5) a) Utiliser la première partie pour montrer que possède une espérance et que l'on a:
b) Toujours en utilisant la première partie, montrer que possède une variance et exprimer en fonction de .
c) En déduire que :

Partie 3

Dans cette partie, on désigne par un entier naturel et on se propose d'étudier la suite de fonctions définie par: , où l'on a toujours .
On note la courbe représentative de dans un repère orthonormé .
6) Déterminer pour tout réel .
7) a) Donner la valeur de .
b) Montrer, grâce au changement de variable dans l'intégrale définissant , que :
c) En déduire la valeur de .
8) a) Montrer que est dérivable sur et déterminer, pour tout réel , l'expression de en fonction de et .
b) Étudier, suivant la parité de , le signe de pour tout réel .
9) a) En utilisant éventuellement la formule du binôme de Newton, montrer que est une fonction polynomiale puis en déduire les valeurs de et de selon que est pair ou impair.
b) Dresser le tableau de variations de (toujours en distinguant les cas pair et impair).
10) Dans cette question, désigne un entier naturel supérieur ou égal à 1 .
a) Pour tout réel , déterminer en fonction de et .
b) En déduire que ( ) possède un point d'inflexion si est impair et trois si est pair.
c) Tracer, selon la parité de , l'allure de .

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