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BCE Maths appliquees EDHEC ECE 2021

Epreuve de maths appliquees - ECE 2021

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Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités continuesRéductionProbabilités finies, discrètes et dénombrementStatistiquesInformatique
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BCE
Année
2021
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2021ECE MathématiquesMathématiques 2021

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Description

Annale de maths appliquees BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2021.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
45218ff2-eda6-49cb-9b08-8fee7db7867d
Code sujet : 298

Conception : EDHEC BS

OPTION ECONOMIQUE

MATHÉMATIQUES

Mardi 4 mai 2021, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

Soit la fonction de dans définie par :

Partie 1

  1. Justifier que est une fonction de classe sur .
  2. a) Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de .
    b) Déterminer les points critiques de .
  3. a) Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de .
    b) Vérifier que ne présente un extremum local qu'en un seul de ses points critiques et préciser sa nature et sa valeur.
  4. Cet extremum est-il global ?

Partie 2

On note la fonction de dans définie par:
  1. Montrer que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 4, l'équation , d'inconnue , possède une unique solution que l'on notera .
  2. On note la restriction de à .
    a) Dresser le tableau de variations de .
    b) Calculer .
    c) En déduire, en revenant à la définition de , le réel a pour lequel on a : .

Exercice 2

Toutes les variables aléatoires rencontrées dans cet exercice sont supposées définies sur un espace probabilisé ( ) que l'on ne cherchera pas à déterminer.
  1. a) Vérifier que la fonction qui à tout réel associe peut être considérée comme une densité d'une certaine variable aléatoire .
    b) On note la fonction de répartition de . Déterminer selon que ou .
  2. a) Vérifier que la fonction qui à tout réel associe peut être considérée comme une densité d'une certaine variable aléatoire .
    b) On note la fonction de répartition de . Déterminer selon que ou .
  3. On considère une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, et suivant toutes la même loi que .
    Pour tout entier naturel non nul, on pose et on admet que est une variable aléatoire à densité, définie elle aussi sur l'espace probabilisé ( ).
    a) On note la fonction de répartition de . Exprimer à l'aide de la fonction puis en déduire explicitement en fonction de .
    b) On pose . Justifier que la fonction de répartition de est donnée par:
  1. Déterminer, pour tout réel négatif ou nul, la limite de lorsque tend vers .
  2. a) Soit un réel strictement positif. Vérifier que, dès que est supérieur strictement à la partie entière de , on a : .
    b) Donner un équivalent de lorsque est au voisinage de 0 , puis en déduire, pour tout réel strictement positif, la limite de lorsque tend vers .
  3. Conclure que la suite converge en loi vers une variable aléatoire dont la loi est celle de .

Exercice 3

On considère un nombre réel élément de [ et l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est .
  1. a) Donner les valeurs propres de .
    b) Déterminer les sous-espaces propres associés à ces valeurs propres.
    c) En déduire que n'est pas diagonalisable.
  2. On pose et on note l'espace vectoriel engendré par et .
    a) Quelle est la dimension de ?
    b) On pose et .
Calculer puis en déduire .
c) En déduire que appartient à .
3) a) Montrer que, pour tout entier naturel , il existe un unique triplet de réels , tel que:
On donnera les valeurs de et et on écrira les relations liant à , et .
b) En utilisant les relations précédentes, expliquer pourquoi le script Scilab qui suit ne permet pas de calculer et d'afficher les valeurs de et lorsque et sont entrés par l'utilisateur. On pourra examiner attentivement la boucle « for ».
n=input('entrez une valeur pour n :')
a=input('entrez une valeur pour a :')
u=0
v=0
w=1
for k=1:n
u=(2*a+1)*u+v
v=-a*(a+2)*u+w
w=a*a*u
end
disp(w, v,u)
c) Modifier la boucle de ce script en conséquence.
4) Montrer que: .
On admet que l'on peut en déduire , pour tout entier naturel , sous la forme :
  1. On dit qu'une suite de matrices tend vers la matrice lorsque tend vers si chaque coefficient de tend vers le coefficient situé à la même place dans .
    Il en résulte (et on admet ce résultat) que .
    a) Déterminer , puis et .
    b) En déduire la limite , lorsque tend vers , de la suite .
    c) Vérifier que .
  2. On note l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est . Montrer que :
    a) .
    b) .

Problème

On dispose de deux pièces identiques donnant pile avec la probabilité , élément de , et face avec la probabilité .

Partie 1 : un jeu naïf

Deux joueurs et s'affrontent lors de lancers de ces pièces de la façon suivante, les lancers de chaque pièce étant supposés indépendants :
Pour la première manche, et lancent chacun leur pièce simultanément jusqu'à ce qu'ils obtiennent pile, le gagnant du jeu étant celui qui a obtenu pile le premier. En cas d'égalité et en cas d'égalité seulement, les joueurs participent à une deuxième manche dans les mêmes conditions et avec la même règle, et ainsi de suite jusqu'à la victoire de l'un d'entre eux.
Pour tout de , on note (resp. ) la variable aléatoire égale au rang d'obtention du pile par (resp. par ) lors de la -ième manche.
On note, toujours pour dans l'événement : « Il y a égalité à la fin de la -ième manche».
On note l'événement: « Il y a perpétuellement égalité ».
On note (resp. ) l'événement : « (resp. ) gagne à ce jeu», et pour tout entier naturel non nul, on note (resp. ) l'événement : « (resp. ) gagne le jeu à la -ième manche».
  1. Étude de la première manche.
    a) Donner la loi commune à et . En déduire qu'il est quasi-impossible que la première manche dure éternellement. On admet alors qu'il en est de même pour chaque manche jouée.
    b) Écrire l'événement à l'aide des variables et .
    c) Montrer que et en déduire l'expression explicite de en fonction de et .
    d) Justifier sans aucun calcul que les événements et sont équiprobables. En déduire la probabilité de en fonction de et .
  2. Calcul de la probabilité de l'événement
    a) Écrire, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 , l'événement à l'aide des événements et de l'événement ( ).
    b) Pour tout entier supérieur ou égal à 2 , calculer puis en déduire :
c) Vérifier que le résultat précédent reste valable pour .
d) Exprimer en fonction des puis conclure, après calcul, que : .
e) Expliquer comment obtenir la probabilité de l'événement : « gagne à ce jeu» et en déduire que ce jeu a presque sûrement une fin, c'est-à-dire que .

Partie 2 : un autre jeu

En parallèle du jeu précédent, parie sur le fait que la manche gagnée par le vainqueur le sera par un lancer d'écart et parie le contraire.
3) a) À l'aide du système complet d'événements , montrer que .
b) En déduire la probabilité que l'un des deux joueurs gagne à la première manche par un lancer d'écart.
4) a) Utiliser les événements pour écrire l'événement «l'un des deux joueurs gagne à la -ième manche par un lancer d'écart», ceci pour tout de .
b) En déduire, pour tout entier naturel non nul, la valeur de .
5) Donner finalement la probabilité de l'événement : « gagne ce pari ».

Partie 3 : informatique

On rappelle que la commande grand , 'geom', p) permet à Scilab de simuler une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre .
6) Compléter le script Scilab suivant pour qu'il simule l'expérience décrite dans la partie 1 et affiche le nom du vainqueur du premier jeu ainsi que le numéro de la manche à laquelle il a gagné.
p=input('entrez une valeur pour p')
c=1
X=grand(1,1, 'geom',p)
Y=grand(1,1, 'geom',p)
while X==Y
    X=------
    Y=------
    C=------
end
if X<Y then ------
        else __-----
end
disp (c)
  1. Compléter la commande suivante afin qu'une fois ajoutée au script précédent elle permette de simuler le deuxième jeu et d'en donner le nom du vainqueur?
    if ------ then disp('A gagne le deuxième jeu') else ------ end

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