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BCE Maths appliquees EDHEC ECE 2007

Epreuve de maths appliquees - ECE 2007

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Algèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesInformatique
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Banque
BCE
Année
2007
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2007ECE MathématiquesMathématiques 2007

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Description

Annale de maths appliquees BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2007.

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SUJET MATHÉMATIQUES 2007
Option Économiques

Exercice 1

Pour toute matrice élément de , on note la matrice transposée de , définie de la façon suivante : si alors .
On pose .
On rappelle que est une base de .
On note l'application qui à toute matrice de associe .
  1. a) Montrer que est un endomorphisme de .
    b) Écrire la matrice de dans la base .
    c) En déduire que est diagonalisable et non bijectif.
  2. Calculer et en déduire que, pour tout de .
  3. a) Montrer que , puis établir que .
    b) En déduire la dimension de puis déterminer une base de .
    c) Établir que est le sous-espace propre de associé à la valeur propre 2.
    d) Donner, pour résumer, les valeurs propres de ainsi qu'une base de chacun des sous-espaces propres associés.

Exercice 2

On admet que, si et sont deux variables aléatoires à densité, définies sur le même espace probabilisé, alors leur covariance, si elle existe, est définie par :
On admet également que si et sont indépendantes alors leur covariance est nulle.
On considère deux variables aléatoires réelles et définies sur le même espace probabilisé ( , ), indépendantes, suivant la loi normale et suivant la loi discrète uniforme sur . On pose et on admet que est une variable aléatoire à densité, définie elle aussi sur l'espace probabilisé .
  1. a) En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que :
b) En déduire que suit la même loi que .
2) a) Calculer l'espérance de puis montrer que .
b) En déduire que .
3) a) Rappeler la valeur de et en déduire que .
b) Montrer, grâce à une intégration par parties, que :
c) En déduire que l'intégrale converge et vaut .
d) Établir finalement que possède un moment d'ordre 4 et que .
4) a) Vérifier que .
b) Déterminer .
c) En déduire que et ne sont pas indépendantes. Montrer alors que et ne le sont pas non plus.
d) Cet exercice a permis de montrer qu'un résultat classique concernant les variables discrètes est encore valable pour les variables à densité. Lequel ?

Exercice 3

  1. a) Montrer que : .
    b) On pose alors : .
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction .
2) a) Montrer que est continue sur .
b) Montrer que est dérivable (à droite) en 0 et que .
3) a) Justifier que est dérivable sur et calculer pour tout de .
b) Déterminer la limite de en .
c) Dresser le tableau de variation de .
4) Étudier le signe de .
5) Pour tout réel élément de , on pose .
a) Montrer que est de classe sur puis étudier ses variations.
b) Déterminer .
c) En déduire , puis .

Problème

On lance une pièce équilibrée (la probabilité d'obtenir "pile" et celle d'obtenir "face" étant donc toutes les deux égales à ) et on note la variable aléatoire égale au rang du lancer où l'on obtient le premier "pile".
Après cette série de lancers, si a pris la valeur , on remplit une urne de boules numérotées , puis on extrait au hasard une boule de cette urne.
On note la variable aléatoire égale au numéro de la boule tirée après la procédure décrite ci-dessus.
  1. On décide de coder l'événement «obtenir un "pile" » par 1 et l'événement «obtenir un "face" » par 0 .
    On rappelle que la fonction random renvoie, pour un argument de type integer (où désigne un entier supérieur ou égal à 1 ) un entier aléatoire compris entre 0 et .
    a) Compléter le programme suivant pour qu'il affiche la valeur prise par lors de la première partie de l'expérience décrite ci-dessus.
Program edhec_2007 ;
Var z, hasard : integer ;
Begin
    Randomize ; z := 0 ;
    Repeat z := ........ ; hasard := ........ ; until (hasard = 1);
    Writeln(z) ;
End.
b) Quelle instruction faut-il rajouter avant la dernière ligne de ce programme pour qu'il simule l'expérience aléatoire décrite dans ce problème et affiche la valeur prise par la variable aléatoire ?
2) Établir la convergence de la série de terme général .
3) Rappeler la loi de ainsi que son espérance et sa variance.
4) a) Pour tout couple ( ) de , déterminer la probabilité .
b) En déduire que : .
c) On admet, dans cette question, que . Vérifier que :
  1. a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul, on a : .
    b) En déduire que possède une espérance.
    c) Montrer, en admettant qu'il est licite de permuter les symboles comme dans la question 4c), que :
  1. a) Utiliser le résultat de la question 5a) pour montrer que a un moment d'ordre 2 .
    b) Établir alors, toujours en admettant qu'il est licite de permuter les symboles comme dans la question 4c), que :
c) Déterminer les réels , et tels que : , .
d) En déduire la valeur de et vérifier que .
7) a) Écrire l'inégalité de Bienaymé-Chebychev, pour la variable .
b) En déduire que .
8) On se propose dans cette question de calculer et .
a) Écrire explicitement en fonction de et la somme ( désignant un entier naturel non nul et un réel différent de 1 ).
b) En déduire que : .
c) Montrer que : .
En déduire la valeur de .
d) Établir alors que puis donner la valeur de .
e) Utiliser les résultats précédents pour calculer , puis donner une valeur approchée de en prenant . Que peut-on en déduire en ce qui concerne le majorant trouvé à la septième question ?

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