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BCE Maths appliquees EDHEC ECE 2006

Epreuve de maths appliquees - ECE 2006

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Banque
BCE
Année
2006
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2006ECE MathématiquesMathématiques 2006

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Description

Annale de maths appliquees BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2006.

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7feb9274-880c-4f30-aa75-35922e01f155

ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD
Concours d'admission sur classes préparatoires

MATHEMATIQUESOption économiqueMardi 9 mai 2006 de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

Soit l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est :
On note la matrice unité de et on pose .
  1. a) Montrer que .
    b) La matrice est-elle inversible ?
  2. a) Déterminer le vecteur de , dont la è coordonnée dans vaut 1 , et tel que .
    b) Démontrer que le vecteur de , dont la è coordonnée dans vaut 1 , et qui vérifie est .
    c) Montrer que ( ) est une base de que l'on notera . On note la matrice de passage de la base à la base .
  3. a) Écrire la matrice de relativement à la base . En déduire la seule valeur propre de . L'endomorphisme est-il diagonalisable ?
    b) Donner la relation liant les matrices et , puis en déduire que, pour tout entier supérieur ou égal à 3 , on a : .
  4. On note (respectivement ) l'ensemble des matrices de qui commutent avec (respectivement ).
    a) Montrer que est un sous-espace vectoriel de et que .
On admet que est aussi un sous-espace vectoriel de .
b) Établir que : . En déduire que .
Quelle est la dimension de ?

Exercice 2

On considère la fonction définie par :
  1. Montrer que peut être considérée comme une densité de probabilité.
Dans toute la suite, on considère une variable aléatoire définie sur un certain espace probabilisé et admettant la fonction pour densité.
2) Déterminer la fonction de répartition de .
3) Montrer que a une espérance et que celle-ci vaut .
4) a) Déterminer .
b) En déduire que a une variance et que .
5) On appelle variable indicatrice d'un événement , la variable de Bernoulli qui vaut 1 si est réalisé et 0 sinon.
On considère maintenant la variable aléatoire , indicatrice de l'événement ( ) et la variable aléatoire , indicatrice de l'événement ( ).
a) Préciser la relation liant et puis établir sans calcul que le coefficient de corrélation linéaire de et , noté , est égal à -1 .
b) En déduire la valeur de la covariance de et .

Exercice 3

Soit la fonction définie pour tout couple de par : .
  1. a) Calculer les dérivées partielles premières de .
    b) En déduire que le seul point critique de est .
  2. a) Calculer les dérivées partielles secondes de .
    b) Montrer que présente un minimum local en et donner la valeur de ce minimum.
  3. a) Développer .
    b) En déduire que est le minimum global de sur .
  4. On considère la fonction définie pour tout couple de par : .
    a) Utiliser la question 3) pour établir que : .
    b) En déduire que possède un minimum global sur et préciser en quel point ce minimum est atteint.

Problème

Partie 1: étude d'une variable discrète sans mémoire.

Soit une variable aléatoire discrète, à valeurs dans telle que : .
On suppose également que vérifie : .
On pose et on suppose que .
  1. On pose . Montrer que . En déduire que .
  2. Montrer que : .
  3. Pour tout de , on pose .
    a) Utiliser la relation obtenue à la deuxième question pour montrer que la suite ( ) est géométrique.
    b) Pour tout de , exprimer en fonction de et de .
    c) Établir que : .
    d) En déduire que, pour tout de , on a .
  4. a) Reconnaître la loi suivie par la variable .
    b) En déduire et .

Partie 2 : taux de panne d'une variable discrète.

Pour toute variable aléatoire à valeurs dans et telle que, pour tout de , on définit le taux de panne de à l'instant , noté , par : .
  1. a) Montrer que : .
    b) En déduire que: .
    c) Établir alors que : .
    d) Montrer par récurrence, que : .
  2. a) Montrer que: .
    b) En déduire que .
    c) Montrer que .
    d) Conclure quant à la nature de la série de terme général .
  3. a) Compléter la déclaration de fonction récursive suivante pour qu'elle renvoie la valeur de lorsqu' on appelle .
Function f(n : integer) : integer ;
Begin
If (n=0) then f:= __----
    else f:= __-_--- ;
end;
b) On considère la déclaration de fonction récursive suivante :
Function \(g(a:\) real ; \(n:\) integer ) : real ;
Begin
If \((n=0)\) then \(g:=1\)
    else \(g:=a * g(a, n-1)\);
end ;
Dire quel est le résultat retourné à l'appel de .
c) Proposer un programme (sans écrire la partie déclarative) utilisant ces deux fonctions et permettant d'une part le calcul de la somme et d'autre part, à l'aide du résultat de la question 1a), le calcul et l'affichage du taux de panne à l'instant d'une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre , lorsque et a sont entrés au clavier par l'utilisateur (on supposera ).
d) Compléter la déclaration de fonction suivante pour qu'elle renvoie la valeur de
à

Partie 3 : caractérisation des variables dont la loi est du type de celle de .

  1. Déterminer le taux de panne de la variable dont la loi a été trouvée à la question 3d) de la partie 1.
  2. On considère une variable aléatoire , à valeurs dans , et vérifiant : . On suppose que le taux de panne de est constant, c'est-à-dire que l'on a : .
    a) Montrer que .
    b) Pour tout de , déterminer en fonction de et .
    c) Conclure que les seules variables aléatoires à valeurs dans , dont le taux de panne est constant et telles que pour tout de , sont les variables dont la loi est du type de celle de .

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