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BCE Maths appliquees EDHEC ECE 2005

Epreuve de maths appliquees - ECE 2005

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Algèbre linéaireCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités continuesProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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Banque
BCE
Année
2005
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2005ECE MathématiquesMathématiques 2005

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Description

Annale de maths appliquees BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2005.

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ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD

Concours d'admission sur classes préparatoires

MATHEMATIQUES
Option économique

Vendredi 13 mai 2005 de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

On note et et on rappelle que la famille ( ) est une base de .
Soit l'application qui, à toute matrice de , associe , où désigne la matrice .
  1. Montrer que est un endomorphisme de .
  2. a) Exprimer , et comme combinaisons linéaires de et .
    b) Vérifier que la matrice de dans la base est .
    c) Justifier que est diagonalisable.
  3. a) Montrer que ( ) est une base de .
    b) Écrire la matrice de dans cette base.
    c) En déduire l'existence d'une matrice inversible telle que .
  4. a) Déterminer la matrice .
    b) Montrer que, pour tout de .
    c) En déduire explicitement la matrice .

Exercice 2

Soit la fonction définie sur par: .
  1. Justifier que est de classe sur .
  2. a) Déterminer les dérivées partielles premières de .
    b) En déduire que le seul point en lequel est susceptible de présenter un extremum local est .
  3. a) Déterminer les dérivées partielles secondes de .
    b) Montrer qu'effectivement, présente un extremum local en . En préciser la nature et la valeur.
  4. a) Montrer que : .
    b) En étudiant la fonction définie sur par , conclure que l'extremum trouvé à la question 2b) est un extremum global de sur .

Exercice 3

Dans cet exercice, désigne un réel strictement positif.
  1. On considère la fonction définie sur par :
    a) Pour tout de , calculer .
    b) En déduire que est une intégrale convergente et donner sa valeur.
    c) Montrer que peut être considérée comme une fonction densité de probabilité.
On considère maintenant une variable aléatoire admettant comme densité et on note sa fonction de répartition.
2) Expliciter pour tout réel .
On se propose de déterminer l'espérance et la variance de la variable aléatoire . Pour ce faire, on pose et on admet que est une variable aléatoire à densité. On note alors sa fonction de répartition.
3) a) Pour tout réel positif, exprimer en fonction de .
b) En déduire que suit la loi exponentielle de paramètre .
4) a) Pour tout réel , donner la valeur de .
b) En déduire que la variable aléatoire possède une espérance et donner sa valeur en fonction de .
c) Exprimer en fonction de , puis en déduire que possède une espérance dont on donnera l'expression en fonction de .
d) Montrer que la variable aléatoire possède une espérance et que . En déduire la variance de puis la variance de .

Problème

Un mobile se déplace sur les points à coordonnées entières d'un axe d'origine . Au départ, le mobile est à l'origine.
Le mobile se déplace selon la règle suivante : s'il est sur le point d'abscisse à l'instant , alors, à l'instant ( ) il sera sur le point d'abscisse ( ) avec la probabilité ou sur le point d'abscisse 0 avec la probabilité .
Pour tout de , on note l'abscisse de ce point à l'instant et l'on a donc .
On admet que, pour tout de est définie sur un espace probabilisé ( ).
Par ailleurs, on note l'instant auquel le mobile se trouve pour la première fois à l'origine (sans compter son positionnement au départ).
Par exemple, si les abscisses successives du mobile après son départ sont , alors on a . Si les abscisses successives sont : , alors on a .
On admet que est une variable aléatoire définie sur ( ).
  1. a) Pour tout de , exprimer l'événement ( ) en fonction d'événements mettant en jeu certaines des variables .
    b) Donner la loi de .
    c) En déduire pour tout de , puis reconnaître la loi de .
  2. a) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel .
    b) Pour tout de , utiliser le système complet d'événements ( pour montrer que : .
  3. a) Établir que: .
    b) En déduire que : .
En déduire également la valeur de . Donner une explication probabiliste de ce dernier résultat.
c) Vérifier que .
4) Dans cette question et dans cette question seulement, on prend .
On rappelle que random(3) renvoie au hasard un entier de .
Compléter le programme suivant pour qu'il simule l'expérience aléatoire étudiée et affiche la valeur prise par pour une valeur de entrée par l'utilisateur.
Program edhec2005 ;
Var k, n, u, X : integer ;
begin
    Readln(n) ;
    Randomize ;
    X:= 0;
    For k:= 1 to n do
    begin
        u:= random(3) ;
        if (u=2) then X:= --------
            else X:= _------- ;
    end ;
Writeln (X) ;
end.
  1. a) Montrer que : , .
    b) En déduire que .
  2. a) Montrer, en utilisant la question 3a), que : .
    b) Pour tout entier naturel , on pose .
Montrer que .
c) En déduire l'expression de , puis celle de en fonction de et .
d) Montrer enfin que : .

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